Suite par récurrence

[Jota Be]

Bonjour,
j'ai un exercice (tiré d'annales) à faire qui porte sur les suites numériques. Je bloque sur une question.
Posons d'abord le contexte :

soit la suite (Vn) application de N->R, telle que V0=6 et V_(n+1)=1,4Vn-0,05Vn²

a) On m'a d'abord demandé d'étudier les variations de la fonction f:R->R qui à x associe f(x)=1,4x-0,05x² sur l'intervalle [0;8].
J'ai trouvé que f est strictement croissante sur [0;8] et qu'elle est une bijection de [0;8] dans [0;8].

b) On me demande de montrer par récurrence que 0<=Vn<=V_(n+1)<=8.
Donc je commence à me dire que je vais laisser le plus facile pour la fin (montrer que (Vn) est bornée par [0;8]) et commencer par montrer que (Vn) est croissante par récurrence, mais je bloque. J'étais plutôt habitué à déterminer les variations d'une suite en étudiant le signe de V_(n+1)-Vn donc je suis comme la cigale dans "La Cigale et la Fourmi"... Je me trouve bien dépourvu.

Merci d'avance =)

[vincentroumezy]

Bonjour.
Pour la a), c'est bon.
b) V(n+1)-Vn=0,4Vn-0,05Vn².
Etudies le signe de ce polynôme du second de gré sur [0,8] (c'est pour ça qu'il vaut mieux commencer par montrer que pour tout n de N, Vn apartient à cet intervalle).

[Jota Be]

Merci pour ta réponse Vincent, mais je cherche à trouver que Vn<=V_(n+1) par récurrence donc effectivement, après avoir étudié f, il semble que (Vn) soit croissante et converge naturellement vers 8 mais c'est le type de démonstration exigé qui me pose problème.

Et en effet, après une brève étude de fonction, on voit bien que V_(n+1)-Vn est positive sur [0;8]...

[Jota Be]

Je rectifie.
Si j'ai bien compris, il faut d'abord montrer par récurrence que (Vn) appartient à [0;8] (et plus exclusivement que (Vn) est compris entre 0 et 8 uniquement) puis montrer avec une étude du signe de V_(n+1)-Vn que (Vn) est croissante. Donc on aura pas tout montré par récurrence, n'est-ce pas ?

[Jota Be]

Encore une question : est-ce qu'on peut montrer que V_(n+1)>=0 en disant que puisque Vn>=0 (ainsi 1,4Vn>=0) et que Vn²>=0 (ainsi, 0,05Vn²>=0), alors 1,4Vn-0,05Vn²>=0 ?

Non, je m'embrouille... voilà, comment montrer que 1,4Vn>=0,05Vn² ?

[vincentroumezy]

Voilà.
On aura montré que (Vn) croissante et pour tout n de N Vn appartient à [0,8], donc; 0<=Vn<=V(n+1)<=8

[Jota Be]

ok c'est bon =) mais je rencontre des difficultés pour montrer que pour tout n de N, V_(n+1)>=0

[vincentroumezy]

En fait, il ne faut pas séparer la démonstration de Vn>0 de celle de Vn<8, il faut mettre les 2 dans l'hypothèse de récurrence.
Pour V0 c'est bon, supposons que 0

[Jota Be]

Justement je pensais plutôt étudier à part Vn>=0 et Vn<=8
Pour Vn<=8, j'ai réussi en disant que 1,4Vn<=11,2 et que 0,05Vn²<=3,2
En soustrayant, on obtient bien V_(n+1)<=8

[vincentroumezy]

Dans ce cas, tu peux facilement montrer par récurrence que Vn>0 en ayant montré AVANT que Vn<8, mais c'est plus rapide de mixer les deux. :we: .

[Jota Be]

J'ai bien honte mais aujourd'hui, j'arrive pas à relier les neurones entre eux... Pour montrer que V_(n+1) est positif pour tout n de N, il est nécessaire de montrer que 1,4Vn est supérieur ou égal à 0,05Vn²...

Et toujours par une étude de fonction, on constate que 1,4x-0,05x²>=0 sur [0;28], or [0;8] est inclus dans le précédant intervalle, donc on peut dire que si Vn<=8, alors Vn>=0 ??

[vincentroumezy]

C'est ça !

[Jota Be]

Merci pour ta patience Vincent =) mais RRoooohhh c'est vraiment foireux comme démonstration... enfin je trouve qu'elle manque d'élégance. Sinon, tu dis qu'on pouvait le faire en mixant les inégalités ?

[vincentroumezy]

Oui.
On a 0Supposons 0Donc pour tout n de N, 0

[Jota Be]

ok, c'est ça que je cherchais. Merci encore et à bientôt !