Suite et fonction

[Ich]

Soit f(x )=1 /sqrt(2x -x^2 )définie sur ]0,2[
Soit h une fonction derivable sur ]0,2[
telle que pour tout x € ] 0,2[
H' (×) = f (x)
H(1)=0
On considère la suite (Un) définie sur N* par
Un = h(1+1/n) - h (1+1/(n+1))
Question
Montrer que pour tout n € N*
On a:
1 /( n (n +1)) f( (n +2)/(n+1)) <= Un<= 1(/(n (n+1)) )f ((n+1)/n)

Merci d avance

[hdci]

Bonjour,
Qu'avez-vous essayé de faire ?
Quelle est votre classe ? Terminale spécialité math ?
Quel est le chapitre en cours ; avez-vous vu les dérivées d'ordre supérieur, la convexité ?

[Ich]

Je pense qu on peut le résoudre avec l inégalité des accroissements finis

[hdci]

Je pense qu on peut le résoudre avec l inégalité des accroissements finis

Mais ce n'est pas au programme du lycée. Alors qu'en terminale, la convexité est au programme.
Mais même en première sans la convexité, on peut résoudre ce problème avec un peu d'initiative (il faut bien avoir compris ce qu'est le nombre dérivée, la fonction dérivée et "admettre" la représentation graphique d'une fonction dont la dérivée est croissante ou décroissante)

[Ich]

je n'étudie pas en france et je crois que notre programme est légèrement différent de votre

[hdci]

Je pense qu'on peut faire ainsi :

tout d'abord
et

Donc l'inégalité à démontrer s'écrit



Ce qui est équivalent à



C'est-à-dire, compte tenu du fait que



On peut remarquer que



Ce qui fait que l'inégalité à démontrer est équivalente à



Le membre de gauche est la pente de la tangente au point d'abscisse 1+1/(n+1), celui de droite est la pente de la tangente au point d'abscisse 1+1/n, et le membre central est la pente de la corde reliant les deux points précédents.
Et justement, si la fonction h est convexe, c'est-à-dire si sa dérivée seconde est positive (car f étant dérivable...), alors ces deux inégalités sont vérifiées.
Sans la convexité, et avec les accroissements finis, on peut dire que la pente de la corde est égale au nombre dérivé d'un réel c compris entre 1+1/(n+1) et 1+1/n, et si la dérivée seconde est positive, la dérivée est croissante, c'est-à-dire qu'on aurait bien



Il n'y a plus qu'à vérifier que h'', c'est-à-dire f', est positive sur un intervalle adéquat.

[Ich]

Merci hdci d'avoir pris le temps d' écrire tout ça
J'ai bein compris