Je pense qu'on peut faire ainsi :
tout d'abord
et
Donc l'inégalité à démontrer s'écrit
Ce qui est équivalent à
C'est-à-dire, compte tenu du fait que
On peut remarquer que
Ce qui fait que l'inégalité à démontrer est équivalente à
Le membre de gauche est la pente de la tangente au point d'abscisse 1+1/(n+1), celui de droite est la pente de la tangente au point d'abscisse 1+1/n, et le membre central est la pente de la corde reliant les deux points précédents.
Et justement, si la fonction h est convexe, c'est-à-dire si sa dérivée seconde est positive (car f étant dérivable...), alors ces deux inégalités sont vérifiées.
Sans la convexité, et avec les accroissements finis, on peut dire que la pente de la corde est égale au nombre dérivé d'un réel c compris entre 1+1/(n+1) et 1+1/n, et si la dérivée seconde est positive, la dérivée est croissante, c'est-à-dire qu'on aurait bien
Il n'y a plus qu'à vérifier que h'', c'est-à-dire f', est positive sur un intervalle adéquat.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.