Suite entière

[t.itou29]

Bonsoir,
Je dois montrer que pour tout n, est entier, la suite étant définie par:
et
J'ai essayé une récurrence directe mais ça donne des calculs assez lourds et je ne sais même pas si ça mène à quelque chose. Sinon j'ai conjecturé que:
ce qui permettrait de conclure directement mais là aussi je n'arrive pas à le montrer. Auriez-vous une idée ?

[Ben314]

Salut,
Si on veut comprendre d'où ça sort ton truc, le mieux, c'est sans doute de commencer par un peu de théorie :
Lorsque l'on a une suite définie par ses deux premiers termes , et une formule de récurrence de la forme (avec ) on peut montrer que où
1) et sont les deux racines (réelles ou complexes) du polynôme (de discriminant car )
2) et sont les solutions du système
Jusque là, c'est du "trés classique" et tu peut vérifier par une bête récurrence que c'est vrai.

Le petit truc rigolo, c'est que, vu que (c'est le produit des racines de ), on a




avec (en prenant n=0)

ce qui signifie que cette même suite vérifie aussi la formule de récurrence

A.N. : et donne
et tu peut en "inventer" des tas d'autres : pour que tout les termes soient entiers, il suffit que soit entier...

[Ben314]

En réfléchissant un peu plus (comme quoi ça sert....)
On peut plus simplement montrer que, partant de on a



Ce qui prouve que reste constant.

[t.itou29]

Salut,
Si on veut comprendre d'où ça sort ton truc, le mieux, c'est sans doute de commencer par un peu de théorie :
Lorsque l'on a une suite définie par ses deux premiers termes , et une formule de récurrence de la forme (avec ) on peut montrer que où
1) et sont les deux racines (réelles ou complexes) du polynôme (de discriminant car )
2) et sont les solutions du système
Jusque là, c'est du "trés classique" et tu peut vérifier par une bête récurrence que c'est vrai.

Le petit truc rigolo, c'est que, vu que (c'est le produit des racines de ), on a




avec (en prenant n=0)

ce qui signifie que cette même suite vérifie aussi la formule de récurrence

A.N. : et donne
et tu peut en "inventer" des tas d'autres : pour que tout les termes soient entiers, il suffit que soit entier...

Je connais l'équation caractéristique pour ce type de suite, j'avais essayé de l'utiliser pour calculer le terme général de la suite (j'avais vraiment aucune autre idée...) mais ça m'avait mené à rien.
C'est vraiment intéressant comme méthode, il doit avoir moyen de trouver des résultats sympas en jouant avec :we:
La deuxième méthode est peut-être plus simple mais faut vraiment y penser (quoique la première aussi), j'ai même eu du mal à retrouver l'équation...
Si vous avez des exercices intéressants et originaux sur les suites je preneur :we: (par exemple j'avais bien aimé un problème sur le nombre de façon de monter un escalier marche par marche ou 2 par 2 ou le nombre de façon de paver une figure...)