Spe maths (Divisibilite)

[Combattant204]

Bonjour tout le monde,besoin d'aide.

On cherche les entiers a tels que a^2 - 1 soit divisible par 4.

1.A l'aide de la calculatrice ou d'un tableur,emettre une conjecture.
2.Demontrer cette conjecture.

1.je calcule:
Pour a = 1 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 0
Pour a = 2 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 3
Pour a = 3 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 0
Pour a = 4 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 3
Pour a = 5 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 0
Pour a = 6 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 3
Pour a = 7 reste dans la division de a^2 - 1 par 4 est 0

Conjecture: pour a impair a^2 - 1 est divisible par 4.

2. un nombre impair s'ecrit 2k + 1 (k E Z)
Ensuite quoi faire....? Jsuis arriver a la seulement.

[Sylviel]

Et bien pose
1) a = 2k+1, calcule a²-1 et déduis en ce que tu veux

2) a = 2k, calcule a²-1 et déduis en ce que tu veux

[Combattant204]

Et bien pose
1) a = 2k+1, calcule a²-1 et déduis en ce que tu veux

2) a = 2k, calcule a²-1 et déduis en ce que tu veux

Merci trop!!!

D'ou a s'ecrit a^2 - 1 = (2K + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 2k + 1 - 1 = 4(k^2 + k).
Un nombre pair s'ecrit 2k d'ou a^2 - 1 = 4k^2 - 1.

pardon mais je ne vois pas tres bien en quoi ce que j'ai aboutit montre,pouvez vous expliquer?

[Sylviel]

si a = 2k+1, alors tu as bien montré que a²-1 = 4*truc, donc que a²-1 est divisible par 4.

si a = 2k pour conclure tout dépend de ce que tu connais. Connais tu les modulos ?
Sinon il faut faire par l'absurde : suppose que a²-1 est divisible par 4 (ie a²-1 = 4n),
alors tu as
4n = 4k^2 - 1
et en jouant un peu avec l'équation tu arrives à une absurdité.

[Combattant204]

si a = 2k+1, alors tu as bien montré que a²-1 = 4*truc, donc que a²-1 est divisible par 4.

si a = 2k pour conclure tout dépend de ce que tu connais. Connais tu les modulos ?
Sinon il faut faire par l'absurde : suppose que a²-1 est divisible par 4 (ie a²-1 = 4n),
alors tu as
4n = 4k^2 - 1
et en jouant un peu avec l'équation tu arrives à une absurdité.

Merci! C claire!

[Sylviel]

Merci! C claire!

*Merci ! C'est clair :zen:

[zygomatique]

salut



or a - 1 et a + 1 sont deux entiers (consécutifs) de même parité

donc

si a est pair alors a - 1 et a + 1 sont impairs tout comme leur produit ... et ne peut donc être divisible par 4

si a est impair alors a - 1 et a + 1 sont pairs et leur produit est trivialement multiple de 4

:zen: