TS Spé maths, congruences

[AL-kashi23]

Bonjour à tous,

Petit exercice de spé :

1) Trouver suivant les valeurs de n les restes R de la division euclidienne de 5^n par 13 :

J'ai trouvé q'il y a périodicité des R avec periode de 4. Ainsi, on obtient ( r désigne le reste dans la division euclidienne de n par 4) :

Si r=0 alors R=1
Si r=1 alors R=5
Si r=2 alors R=12
Si r=3 alors R=8

2) En déduire que 1981 est divisible par 13 :

19815[13] donc 19815[13]

Or 19811[4] donc 55[13] ce qui revient à :

19815[1981] ! Ca ne serait donc pas divisible par 13....

La question 1 étant, je pense, juste ( pour la suite de l'exercice, en utilisant cette question 1) j'arrive à démontrer ce qu'il faut...), quel est le problème dans la 2) ???

Merci,

[le_fabien]

D'après la première question quelque soit la puissance de n 5^n n'a jamais de reste nul par la division par 13.
Tes calculs montrent que 1981^1981=5[13] et pour moi sont justes donc je ne sais pas où est l'erreur .
Avec un peu de chance peut être dans l'énoncé.

[AL-kashi23]

Merci pour la réponse. L'énoncé aurait eu faute .... Pour bien faire, il faudrait que quelqu'un possède une calculatrice super puissante et fasse 1981^1981 divisé par 13....

[Monsieur23]

Effectivement, Maxima me donne Pgcd(1981^1981,13) = 1

[AL-kashi23]

Ok merci beaucoup ... je verrais ça avec mon prof dans la semaine.