DM de spé maths congruences

[cedric08]

bonjour je rencontre des difficultés sur un exercice

Démontrer que 2^770-5^2477 est congru a 1 modulo 7?

J'ai ce devoir à faire pour jeudi et j'y ai passé pas mal de temps sans y arriver jusqu'au bout. J'espère que vous pourrez m'aider et vous remercie d'avance.

[busard_des_roseaux]

Bj,

connais tu le petit théorème de Fermat ?


si oui, l'appliquer


si non,

calculer les résidus des puissances successives
..
et
..

les suites deviennent périodiques car il n'y a que 6 possibilités en tout

[cedric08]

Non je ne connais pas ce théorème et j'ai pas compris en quoi cela va me servir de calculer les résidus des puissances
Pourrait tu m'indiquer a quoi cela sert?

[busard_des_roseaux]

Pourrait tu m'indiquer a quoi cela sert?

oui, il faut que j'explique les congruences vite fait:

tu considère un modulo , 7 par exemple...

ça marche comme le modulo sauf que ce ne
sont pas des mesures d'angles mais des entiers.

le résidu de 23 est 2.

deux entiers relatifs x et y sont équivalents si ils ont me^me reste dans la division euclidienne par 7

on s'aperçoit que ça revient au même
de dire que x-y=7k

leur différence est multiple de 7

Les opérations d'addition et multiplication "passent au quotient"
et on peut donc remplacer dans tous les calculs
les nombres par leurs résidus (leur reste)

tu peux donc remplacer par
et par

comme dans la fameuse preuve par 9 , modulo 9
où l'on remplace la dizaine par 1...

remarque une fois ça compris, ensuite
on réduit les exposants pour une tout autre raison,
à savoir que la suite des exposants est périodique
donne une périodicité de 6 concernant les
exposant

[cedric08]

on pose 2k congru a r [7]
on obtient 2^1 congru a 2[7]
2^2 congru a 4[7]
2^3 congru a 1[7]
2^4 congru a 2 [7]
2^5 congru a 4[7]
2^6 congru a 1[7]
C sa??
et pour 5 je bloque

[busard_des_roseaux]

on pose 2k congru a r [7]
on obtient 2^1 congru a 2[7]
2^2 congru a 4[7]
2^3 congru a 1[7]
2^4 congru a 2 [7]
2^5 congru a 4[7]
2^6 congru a 1[7]
C sa??
et pour 5 je bloque

c pareil ................

[cedric08]

Donc 5^1 est congru a 5[7]
et 5^2 congru a 5[7]
etc..

Et après avoir demontrer que c'est periodique

PS: dsl si je comprends pas rapidemment on commence a peine les congruences

[busard_des_roseaux]

Donc 5^1 est congru a 5[7]
et 5^2 congru a 5[7]
etc..

25 ; 4 ; 32; 39; -3; -10 ont même reste dans la division euclidienne par 7
ils sont dans la classe de 4, notée

comme la relation est compatible avec les opérations + et x

[cedric08]

je suis désolé mais je ne comprends pas à quoi cela va me servir

[busard_des_roseaux]

je suis désolé mais je ne comprends pas à quoi cela va me servir

on va arriver, en continuant , à
ce qui permettra de réduire aussi les exposants

[cedric08]

d'accord je vois a quoi on veut en venir, te serait t-il possible de me rédiger les réponses de l'exo ou d'un autre exemple a peut près identique afin que je comprenne la méthode stp

Merci

[cedric08]

oki je vois ou cela nous mène mais pourrait tu me rediger l'exercice ou un qui est equivalent pour que je comprenne la méthode

[cedric08]

d'accord pourrait tu rediger l'exercice ou un du meme style pour que je comprenne la méthode que tu as utiliser