Spé math terminale S

[tom2201]

Bonjour et bonne année, j'ai un Dm mais j'ai du mal a m'en sortir, pouvez vous m'aider svp :


2) Démontrer les propriétés suivantes :

- si p est premier et p divise ab alors p divise a ou p divise b. En déduire que si p divise a² alors p divise a.

- si q est premier avec a alors q est premier avec a².

- si a et b sont premiers entre eux, alors a+b est premier avec a, avec b, avec ab et a²+b² est premier avec ab.

-si a est premier avec c alors PGCD(a;bc) = PGCD (a;b), (on notera d=PGCD(a;bc) et d'= PGCD (a;b) et on démontrera que d' divise d et que d divise d')

3) On considère l'ensemble E des couples de Z² solutions de l'équation 13x - 7y = 1
A) a) Expliquer pourquoi E n'est pas vide.
b)Déterminer une solution a et b de cette équation telle que a soit strictement compris entre 0 et 7.
c)Déterminer l'ensemble E de toute ces solutions.
B) a)Déterminer l'ensemble de toutes les solutions de l'équation 13x - 7 y = 2.
b) Parmis toutes les solutions (x;y) de cette équation, déterminer celle qui vérifient PGCD(x;y)=2;

Alors voila ce que j'ai fait :

2)
- p premier et p divise ab. Soit p divise a soit p divise b. Si p divise a c'est fini. Si n'est p ne divise pas a c'est que p est premier avec a. D'aprés le théorème de Guass, p divise b.

ET aprés je bloque pour la fin de la démonstration et pour les autres.

3)
A) a) théorème de bézout
b) x=6 et y= 11
c) 13 ET 7 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bézout, l'équation a des solutions, une solution particulière est (6;11), en effet,
13 *6 - 7 * 11 = 1

on a donc 13 x - 17y = 13 *6 -7*11
D'ou 13(-6+x) = 7(y-11)

7 divise 13(-6+x) mais sachant que 7 ET 13 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss 7 divise -6+x

x-6= 7k x=6+7k
y-11= 13k y=11+13k

S= (6+7k) ; ( 11+13k) avec k qui appartient à Z.

B)a) je multiplis par 2 la première solution particulière puis j'applique la meme méthode et j'obtient S= (12+7k) ; ( 22+13k) avec k qui appartient à Z.

b) je n'y arrive pas.

[Huppasacee]

bonjour

si p divise a*a, il divise a ou il divise a

[tom2201]

merci, mais j'avais compris c'est le théorème de gausse. mais la suite des démonstration est plus complexe.
merci de vos réponses.

[tom2201]

quelqu'un pourrait il m'aider mais maintenant seule la partie 3 de l'exercice me bloque. merci

[tom2201]

bonjour j ai vraiment besoin d aide. Merci pour vos réponse.

[tom2201]

Personne ne peut m'aider ????
merci

[XENSECP]

Comment tu fais pour calculer le PGCD d'habitude ?
Là comme ça je dirais récurrence sur k ^^

[tom2201]

ben je pense que c'est pour tout k pair mais je ne sais pas comment le rédiger.