Spé math : divisibilité !

[slavik]

Bonjour, j'ai un problème, face à un exercice pourriez-vous m'aider s'il vous plait.

Prouver que pour tout n 11 divise :

3(n+2)-4^(4n-2)

Voila j'ai essayé la reccurrence et je n'y arrive pas trop.
Seulement en faisant intervenier la différence des suites U(n+1)-Un = un multiple de 11.
Où Un=3(n+2)-4^(4n-2)

Voila donc par reccurrence en "bidouillant" j'y arrive.
Aidez- moi s'il vous plait.
Il n' y aurait pas une autre methode?

[Ben314]

Salut,
Tient, c'est bizare, j'aurais pas cru que 3(1+2)-4^(4-2)=9-16=-7 était divisible par 11... :doh:

[mathlegend]

si on pose (n=0) on obtient pas cette relation
n=0 <=======> 3(n+2) - 4^(4n-2) = (91/16) # 11k

[slavik]

Salut,
Tient, c'est bizare, j'aurais pas cru que 3(1+2)-4^(4-2)=9-16=-7 était divisible par 11... :doh:

non 3^(1+2)= 27
Or 27-16=11

J'ai oublié l'éxposant.

[slavik]

si on pose (n=0) on obtient pas cette relation
n=0 3(n+2) - 4^(4n-2) = (91/16) # 11k

C'était une erreur de frappe, désolé.
Et de plus c'est pas définit pour 0.
Seulement les entiers naturels non nuls.

[Ben314]

Bien sûr, on peut absolument tout faire sans aucun outils,... mais c'est plus long...

.
Or est divisible par donc est divisible par donc par .

[slavik]

En fait, je pense que l'énoncé EXACT, c'est .
Il faut évidement se débrouiller pour avoir le même exposant partout.
Comme on ne peut pas prendre (car n'est pas entier), il suffit de prendre :
.

Voila j'y suis arrivé à là et ensuite?
J'ai passé une heure devant cet exo et usé une copie double, mais j'y suis arrivé que par la reccurrence.
Ca m'est venu à la tete de mettre au meme exposant, mais je trouvais pas d'identité remarquable...
Comment on fait?

[Ben314]

As tu vu les congruences ?
Si oui, tu peut tout réduire modulo 11 et tu trouve... ce qu'il faut.

[slavik]

As tu vu les congruences ?
Si oui, tu peut tout réduire modulo 11 et tu trouve... ce qu'il faut.

Oui j'ai vu les congruences, mais étant donné que cet exo se trouve dans la partie "pour approfondir" de la partie "divisibilité" et qu'on avait vu que la divisibilité à l'époque je pense qu'on peut s'en sortir rien qu'avec les propriétés de la divisibilité. Non?
On avait même pas encore vu la congruence à ce moment.

[slavik]

Pfff vraiment j'arrive pas :( :mur:

[mathlegend]

si on prend
(n=1 <========> 3^(n+2) - 4^(4n-2) =11
on suppose que la relation est vraie pour tout n : 3^(n+2)-4^(4n+2) = 11k
et on prouve qui est vraie pour (n+1) : 3^(n+3) - 4^(4n+2) =11k'
on a 3^(n+3)-4^(4n+2)
=3*3^(n+2) - 256* 4^(4n-2)
= (11-8)*3^(n+2) -(11*24)*4^(4n-2) + 8*4^(4n-2)
=11(3^(n+2) - 24*4^(4n-2) - 8k)
=11k'

d'ou le résultat

[Ben314]

Bien sûr, on peut absolument tout faire sans aucun outils,... mais c'est plus long...

.
Or est divisible par donc est divisible par donc par .

[slavik]

Merci beaucoup j'ai compris maintenant :)

[nodjim]

Juste pour dire que la méthode des congruences est aussi rapide:
tableau des valeurs des puissances successives de 3 et 4 modulo 11:
3 4 n
3 4 1
9 5 2
5 9 3
4 3 4
1 1 5

quand on arrive à 1 on est à la fin du cycle, pas la peine d'aller plus loin.

Pour n=1, il faut regarder le rang 3 de la puissance de 3 (car n+2) et le rang 2 de la puissance de 4 (car 4n-2)
Pour n=2, rang 4 de la puissance de 3, et rang 1 de la puissance de 4.
On a de la chance, pour chaque n, il faut regarder le rang +1 du précédent pour les puissances de 3, et le rang -1 du précédent pour les puissances de 4.
Donc c'est vite vérifié.

[Spe maths powa]

si on prend
(n=1 3^(n+2) - 4^(4n-2) =11
on suppose que la relation est vraie pour tout n : 3^(n+2)-4^(4n+2) = 11k
et on prouve qui est vraie pour (n+1) : 3^(n+3) - 4^(4n+2) =11k'
on a 3^(n+3)-4^(4n+2)
=3*3^(n+2) - 256* 4^(4n-2)
= (11-8)*3^(n+2) -(11*24)*4^(4n-2) + 8*4^(4n-2)
=11(3^(n+2) - 24*4^(4n-2) - 8k)
=11k'

d'ou le résultat

Excuses moi, mais je ne te suis plus à partir de "(11-8)*3^(n+2) -(11*24)*4^(4n-2) + 8*4^(4n-2)" Pourquoi 11*24? :help: :help: