--- Spé math Divisibilité ---

par **theluckyluke** » 30 Sep 2006, 15:56

Bonjour tout le monde,

en fait je bloque sur un exercice de Spé Math, j'ai du mal à comprendre ce chapitre. Quelqu'un pourrait-il m'aider pour les deux exos qui suivent?

I)
On désigne par n et a deux entiers naturels. Démontrer que si a divise 5n+31 et a divise 3n+12, alors a divise 33. Déterminer toutes les valeurs possibles pour les entiers a et n.

II)
Déterminer les entiers naturels n tels que le quotient

soit un entier.

Merci d'avance pour vos réponses!

par **webnet** » 30 Sep 2006, 16:08

Salut,

Pour le 1) il y a une propriété, appliquée à ton exemple qui dit que si a divise 5n+31 et a divise 3n+12 alors a divise toute combinaison linéaire de u(5n+31)+ v(3n+12). Tu détermines u et v pour que les n s' annulent

Pour 2) tu peux essayer une méthode similaire, ou bien dire que le numérateur est toujours inférieur ou égal au dénominateur, tu cherche n ( sous forme d' inégalité ) et tu vérifies si ils sont solution ( en n oubliant pas q ils sont naturels

par **theluckyluke** » 30 Sep 2006, 16:23

en fait je trouve avec ta manière :

avec k et k' entier

par **theluckyluke** » 01 Oct 2006, 16:42

je suis bloqué là, personne pour m'aider?

par **BancH** » 01 Oct 2006, 17:07

theluckyluke a écrit:II)
Déterminer les entiers naturels n tels que le quotient soit un entier.

Tu peux utiliser une méthode bidon:

Lorsque

tend vers

donc

par **BancH** » 01 Oct 2006, 17:14

Je n'avais pas vu que webnet avait déjà donné la réponse...

webnet a écrit:Pour 2) tu peux essayer une méthode similaire, ou bien dire que le numérateur est toujours inférieur ou égal au dénominateur, tu cherche n ( sous forme d' inégalité ) et tu vérifies si ils sont solution ( en n oubliant pas q ils sont naturels

par **theluckyluke** » 01 Oct 2006, 18:05

BancH a écrit:Je n'avais pas vu que webnet avait déjà donné la réponse...

merci BancH!!

quelqu'un peut m'éclairer pour le I) ???

EDIT: c'est bon j'ai compris

par **theluckyluke** » 01 Oct 2006, 18:09

Pour le 1) il y a une propriété, appliquée à ton exemple qui dit que si a divise 5n+31 et a divise 3n+12 alors a divise toute combinaison linéaire de k(5n+31)+ k'(3n+12). Tu détermines u et v pour que les n s' annulent

Donc k est un multiple de 3 et k' est un multiple de 5 tel que :

5nk = 3nk'
5nk - 3nk' = 0
n (5k - 3k') = 0

n(5k+3k') +31k+12k' = a
avec k et k' entier

donc 31k+12k' = a

J'avoue je ne sais pas trop comment poursuivre...

par **BancH** » 01 Oct 2006, 18:23

theluckyluke a écrit:I)
On désigne par n et a deux entiers naturels. Démontrer que si a divise 5n+31 et a divise 3n+12, alors a divise 33. Déterminer toutes les valeurs possibles pour les entiers a et n.

Tu devrais trouver:

et

par **theluckyluke** » 01 Oct 2006, 18:40

BancH a écrit:Tu devrais trouver: et

comment tu trouves cela?

par **Quidam** » 01 Oct 2006, 19:46

theluckyluke a écrit:en fait je trouve avec ta manière :
avec k et k' entier

theluckyluke a écrit:Donc k est un multiple de 3 et k' est un multiple de 5 tel que :

5nk = 3nk'
5nk - 3nk' = 0
n (5k - 3k') = 0

Non. k peut être n'importe quoi et k' aussi. Il faut dire SI je choisis k comme multiple de 3 :
k=3m
Pour annuler le coefficient de n (qui est 5k+3k') il suffirait que
5k+3k'=0
soit
5*(3m)+3k'=0
soit 3*(5m+k')=0
Donc il suffit de choisir k'=-5m mon équation peut s'écrire avec ces deux valeurs particulières de k et k' (j'en ai le droit puisque cela est vrai quel que soient k et k') :

CQFD

par **theluckyluke** » 02 Oct 2006, 16:10

OK merci Quidam, c'est déjà plus clair... je vais essayer de le refaire pour voir

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