Si a, b et c sont impairs ⇒ le Δ n'est pas un carré parfait

[oumanipapa1964]

Bonjour,
Voilà cela fait des heures que je me creuse la tête pour trouver une solution à cet exercice. Rien.
Voici l'exercice en question :
" a, b et c trois nombres entiers impairs:
1-Montrer que b²- 4ac n'est pas un carré parfait.
2-Déduire que l'équation ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution dans Q. "

La deuxième question me semble évidente si l'on arrive à démontrer que le discriminant n'est pas un carré parfait, car dans ce cas les solutions seront sous la forme d'une somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel ce qui est irrationnel.

Merci pour vos réponses.

[pascal16]

Le "en déduire" dit bien que la partie calculatoire est finie

[oumanipapa1964]

En effet oui, ce qui doit vraiment être démontré, c'est la première question.

[qaterio]

S'ils sont impaires alors tu peux écrire a=2k+1, b=2k'+1 c=... avec k,k' apt. N
Puis un raisonnement par l'absurde me semble adapté.

[pascal16]

On pourrait comprendre que se sont les solution irrationnelles qui forcent le discriminant à l'être :
La deuxième question me semble évidente si l'on arrive à démontrer que le discriminant n'est pas un carré parfait, car dans ce cas les solutions seront sous la forme d'une somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel ce qui est irrationnel.



"... les solutions seront irrationnelles car sous la forme d'une somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel"

[jlb]

Salut, tu as trouvé la 1ère question?

[jlb]

Suppose qu'il existe un entier p tel que b²-4ac =p² alors b²-p²=4ac soit (b+p)(b-p)=4ac
Le truc à constater c'est que b²-4ac est impair ( je te laisse voir pourquoi), du coup, p² est impair DONC (à expliquer aussi) p est impair.
Du coup, b+p et b-p sont pairs et se divisent par deux! Il vient ((b+p)/2)(b-p)/2) =ac et comme a et c sont impairs, il n'y a pas le choix: (b+p)/ et (b-p)/2 sont impairs. Et je te laisse finir…