Somme trigonométrique

[Zweig]

Bonjour,

Cet exercice étant livré sans solution, j'aimerai que vous vérifiez la pertinence de celle-ci :

Soient des réels donnés. Montrer que , pour tout , si et seulement si, les coefficients sont nuls.

L'implication directe est évidente. Réciproquement, nous avons d'après la formule d'Euler :



, avec

Ainsi, pour tout réel si et seulement si le polynôme s'annule pour tout réel .

Or ce polynôme admet au plus racines si ses coefficients ne sont pas tous nuls, ce qui contredit le fait que par hypothèse admet une infinité de solution. Donc est le polynôme nul, i.e, pour tout .

[girdav]

Bonsoir.
On peut aussi démontrer que la famille est orthogonale (pour le produit scalaire ) et sans vecteur nul, ce qui implique que c'est une famille libre, donc ce qu'il faut démontrer.

[Zweig]

Salut,

Ah mince, j'ai posté ça dans le Supérieur :mur: Bon, en fait je ne suis qu'en Terminale S, donc bon, je n'ai pas compris ton charabia :we:.

[Lemniscate]

Salut,

Je n'ai pas compris ceci :

[Zweig]

Oui désolé, j'ai été un peu trop rapide dans les équivalences :

[Zweig]

Il y'a une faute de frappe (j'ai corrigé ma démo au passage) :

[Zweig]

J'ai fait une petite faute dans mon message initial :

[Zweig]

Un petit up \o/

[Lemniscate]

Bon là ca me semble correct :)

[Zweig]

Ok merci ! :++:

[ThSQ]

Ou : dériver deux fois, multiplier par n^2, sommer et raisonner par récurrence

Ou : multiplier par cos(kt) et intégrer entre 0 et 2pi (= solution de girdav)

[Zweig]

Ok, ça a l'air d'être un classique cet exercice :we:.

[Matt_01]

C'est la même méthode que pour prouver que la famille est une famille libre : comme le dit, ThSQ, procéder par récurrence, dériver deux fois pour retomber sur une somme de sinus, et sommer les deux expressions affectées de coefficients pour pouvoir conclure la récurrence au rang suivant

[ThSQ]

C'est plus qu'un classique :we: , c'est une petite fenêtre vers des belles théories (analyse (pré-)hilbertienne).