Somme trigonométrique cos((2k+1)pi/13)

[evilangelium]

Bonsoir

un exo qui parait simple mais je ne sais comment le traiter
probablement avec des complexes mais.. je sais pas :(

montrer que
cos(pi/13) + cos(3pi/13) + cos(5pi/13) + cos(7pi/13) + cos(9pi/13) + cos(11pi/13) = 1/2

merci bonne soirée ;)

[PaTaPoOF]

Bonjour,
Je n'ai pas réussi à aller jusqu'au bout mais voici une piste :
Tout d'abord, montre que c'est pas très difficile, multiplie en haut et en bas par ça devrait aller tout seul.
Ensuite, tu remarques que est la somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme
et de raison donc tu appliques la formule et tu as :
S=
Tu utilises ce que tu as trouvé au début et tu te retrouves avec :
S=
Enfin, pour avoir ce qu'on veut, tu prends la partie réelle de ce complexe S, ce qui te donne :

Voilà... après je vois plus trop quoi faire :p tu dois pouvoir t'arranger avec les fomules d'addition etc, en tout cas quand on le tape à la caltos ça fait bien 1/2 tu peux essayer :p
Bon courage !

[evilangelium]

sin(2x) = 2 sinx cox
avec x = 6pi/13
sin(6pi/13)*cos(6pi/13) = 1/2 sin(12/pi13)

Re(S) = sin(6pi/13)*cos(6pi/13) / sin(pi/13)
=1/2 sin(12/pi13) / sin(pi/13) = 1/2

merci beaucoup PaTaPoOF

attention à la formule d'Euler pour sinus
*i

[PaTaPoOF]

Huhu la fin était toute bête en fait. Arf oui, le i est un oubli de ma part, désolé, au temps pour moi :)

[cesar]

il y a une autre demo : en remarquant que les exponetielles sont la somme des 6 premieres racines treizieme de -1....à mediter... et la somme de toutes les racines de -1 fait, sachant que -1 fait partie du lot......

[Jeet-chris]

Salut.

Bien sûr qu'en développant en exponentielles on a 12 des 13 racines treizièmes de l'unité, et que comme on sait que la somme des 13 racines est nulle on peut en déduire que comme il manque -1, la somme des exponentielles vaut 1. D'où le résultat cherché qui tombe facilement.

(les 12 racines sont conjuguées deux à deux)

Le problème, c'est que l'on est dans la partie lycée du forum. En l'occurrence, on ne sait pas ça justement. Donc à faire sans racines de l'unité.

@+

[Anonyme]

dommage, car c'est comme cela que c'est exo a été trouvé....

[cesar]

c'est effectivement à cela que je pensais : la somme des 12 racines complexes fait 1 et comme on en prend que la moitié, en laissant leurs symétriques, cela fait 1/2. En plus, cette regle se generalise à toutes les racines impaires de -1. exemple : la somme des parties reelles des 5000 premieres racines 10001 eme de -1 fait 1/2...

Il est quand même extraordinaire que l'on apprenne au lycée la notation des complexes sans apprendre aux lycéens les consequences immédiates que cela entraine...