Somme des n premiers entiers (dm seconde)

[almagathe]

Bonjour j'ai un dm à faire et je bloque.
Merci de bien vouloir m'aider...
Voici le sujet :

La somme des n premiers entiers

1) on connait bien l'égalité :
(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1

a. Ecrire les cinq égalités obtenues lorsqu'on remplace n successivement
par 1, puis 2, 3, 4 et 5.

b. En ajoutant ces cinq egalites membre a membre, en deduire un procede permettant de calcul de la somme :
1+2+3+4+5

C. En deduire le calcul de la somme des n premiers entiers naturels: 1+2+....+n, où n est naturel non nul.

2.a) developper (n+1)^3
B) par une methode analogue, calculer la somme :
1^2 + 2^2 +....+ n^2.

C'est a partir de la b) que je n'y arrive pas..

[Goux]

Salut,

Après avoir écrit tes 5 équations, tu sommes les termes de droite ensemble et les termes de gauche ensemble, tu obtient cette égalité :

2²+3²+4²+5²+6² = 1²+2²+3²+4²+5²+ 2*(1+2+3+4+5)+1+1+1+1+1

Soit en simplifiant :

(6²-1²-5)/2 = 1+2+3+4+5

[Goux]

on peut conjecturer:

((n+1)²-(n+1))/2=1+2+3+4+...+n

Soit

(n²+n)/2 = 1+2+3+...+n

On peut le démontrer par récurrence

[Goux]

Pour la 2/

(n+1)^3 = n^3 + 3n² + 3n +1
je pense que le développement ne te pose pas de problème

Si l'on fait la même chose qu'en 1 :

2^3 = 1^3 + 3*1² + 3*1 +1 pour n=1
3^3 = 2^3 + 3*2² + 3*2 +1 pour n=2
4^3 = 3^3 + 3*3² + 3*3 +1 pour n=3
5^3 = 4^3 + 3*4² + 3*4 +1 pour n=4
6^3 = 5^3 + 3*5² + 3*5 +1 pour n=5

En sommant chaque coté on obtient :

6^3+5^3+4^3+3^3+2^3 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 + 3*(1²+2²+3²+4²+5²) +1+1+1+1+1

En simplifiant :

(6^3-1^3-5)/3 = 1²+2²+3²+4²+5²

Cette fois on peut conjecturer :

((n+1)^3-(n+1))/3 = 1²+2²+3²+...+n²

[almagathe]

Pour la 2/

(n+1)^3 = n^3 + 3n² + 3n +1
je pense que le développement ne te pose pas de problème

Si l'on fait la même chose qu'en 1 :

2^3 = 1^3 + 3*1² + 3*1 +1 pour n=1
3^3 = 2^3 + 3*2² + 3*2 +1 pour n=2
4^3 = 3^3 + 3*3² + 3*3 +1 pour n=3
5^3 = 4^3 + 3*4² + 3*4 +1 pour n=4
6^3 = 5^3 + 3*5² + 3*5 +1 pour n=5

En sommant chaque coté on obtient :

6^3+5^3+4^3+3^3+2^3 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 + 3*(1²+2²+3²+4²+5²) +1+1+1+1+1

En simplifiant :

(6^3-1^3-5)/3 = 1²+2²+3²+4²+5²

Cette fois on peut conjecturer :

((n+1)^3-(n+1))/3 = 1²+2²+3²+...+n²

Merci enormement pour tes reponses !

[almagathe]

Merci enormement pour tes reponses !

Mais pour la deriniere question je n'ai pas compris...

[almagathe]

Mais pour la deriniere question je n'ai pas compris...

Donc si j'ai bien compris :
Pour la 1) b. il faut que j'ecrive sur ma copie :

2²+3²+4²+5²+6² = 1²+2²+3²+4²+5²+ 2*(1+2+3+4+5)+1+1+1+1+1

Soit en simplifiant :

(6²-1²-5)/2 = 1+2+3+4+5

Et :
" on peut conjecturer:

((n+1)²-(n+1))/2=1+2+3+4+...+n

Soit

(n²+n)/2 = 1+2+3+...+n

On peut le démontrer par récurrence" Correspond a la question c) c'est ça ?

Encore merci

[Goux]

Tout à fait ca c'est pour la c)

Pour la dernière question, c'est exactement la même démarche que pour la 1/

Sauf que cette fois l'équation dont on se sert est:
(n+1)^3 = n^3 + 3n² + 3n +1

On calcul comme en 1/ pour n = 1 puis 2 3 4 5

2^3 = 1^3 + 3*1² + 3*1 +1 pour n=1
3^3 = 2^3 + 3*2² + 3*2 +1 pour n=2
4^3 = 3^3 + 3*3² + 3*3 +1 pour n=3
5^3 = 4^3 + 3*4² + 3*4 +1 pour n=4
6^3 = 5^3 + 3*5² + 3*5 +1 pour n=5


On sommes chaque membre pour obtenir une seule équation :
6^3+5^3+4^3+3^3+2^3 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 + 3*(1²+2²+3²+4²+5²) +1+1+1+1+1

puis on simplifie:
(6^3-1^3-5)/3 = 1²+2²+3²+4²+5²



La on remarque que l'on à fait le calcul des 1²+2²+3²+...+n² pour n = 5

Donc on peut supposer vu le résultat que ((n+1)^3-(n+1))/3 = 1²+2²+3²+...+n²
On vérifie que ca marche pour n = 1 2 3 4, pour faire rigoureusement il faudrait le démontrer par récurrence.

Si ce sont les calculs qui te gêne je te conseil de les refaire sur une feuille sans regarder les résultats pour bien comprendre