Somme des n premiers carrés d'entiers

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

La démonstration des n premiers entiers est, disons, facile :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^n%20i%20=%201%20+%202%20+%20...%20+%20n-1%20+%20n[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^n%20i%20=%20n%20+%20n-1%20+%20...%20+%202%20+%201[/img]
Par somme :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?2\sum_{i=1}^n%20i%20=%20n+1%20+%20n+1%20+%20...%20+%20n+1[/img] avec (n+1) se répétant n fois
Alors :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^n%20i%20=%20\frac{n(n+1)}{2}[/img]

Je désirerais démontrer maintenant que la somme des n premiers carrés d'entiers est égale à [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^n%20i^2%20=%20\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/img] mais je n'ai aucune idée de comment faire (je suppose que je ne connais pas l'objectif qui est d'arriver à [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^n%20i^2%20=%20\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/img] ; c'est comme si je n'ai que pour énoncer de donner la forme factorisée de [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^n%20i^2%20=%20\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/img] )
Je ne demande que des pistes
Merci à tous !

[Kikoo <3 Bieber]

Yo :)

Le plus facile est d'utiliser une récurrence, si tu connais déjà la formule à laquelle tu dois arriver !

[Dinozzo13]

Salut !

J'aurai procédé ainsi :





Que tu peux écrire, si tu sais un peu manipuler le symbôle somme :


Enfin, en remarquant que dans la première somme, débute à 1, dans la deuxième, débute à 2, dans la troisième à 3 et ainsi de suite jusqu'à la -ième qui débute (et fini) à , tu peux écrire :
.

En se servant du fait que , tu peux calculer dans un premier temps en fonction de et .
Puis, en déduire qui vaut .

En espérant avoir été clair et précis :+++:

[chan79]

Salut !

J'aurai procédé ainsi :





Que tu peux écrire, si tu sais un peu manipuler le symbôle somme :


Enfin, en remarquant que dans la première somme, débute à 1, dans la deuxième, débute à 2, dans la troisième à 3 et ainsi de suite jusqu'à la -ième qui débute (et fini) à , tu peux écrire :
.

En se servant du fait que , tu peux calculer dans un premier temps en fonction de et .
Puis, en déduire qui vaut .

En espérant avoir été clair et précis :+++:

Bonjour
Il y a aussi cette méthode qui se fait sans récurrence
on développe a³-(a-1)³
a³-(a-1)³=3a²-3a+1
on écrit cette égalité pour a=1, pour a=2, ....., pour a=n
on ajoute membre à membre et on arrive au résultat

[Dinozzo13]

Ah oui !
J'avais oublié cette méthode :++:

[blogs]

J'avais oublié cette méthode.