Sinus et cosinus de π/12

[PhilipeHook]

Bonjour,

Je galère actuellement sur un exercice de 1èreS (à vrai dire je ne sait pas trop comment le faire).

Dans un carré ABCD de côté a, on trace le triangle équilatéral DMC.
I et J sont les milieux respectifs de [DC] et [AB].

(image de la figure)


1) Montrer que MÂJ a pour mesure π/12
2) Calculer IM, MJ puis AM en fonction du côté a.
3) En déduire les valeurs exactes de cos(π/12) et de sin(π/12)

J'ai déjà tenté quelques recherches graphiques (visible sur la photo) même si je doute que cela me mène quelque part.

Merci d'avance pour votre aide.

[mathelot]

bonjour,
on peut calculer toutes les mesures d'angles de la figure (en radians) en utilisant successivement les méthodes suivantes:

- la somme des angles d'un triangle vaut radians
- les angles d'un triangle équilatéral valent radians
- les angles de base d'un triangle isocèle ont même mesure

les mesures de longueur des côtés se calculent avec le théorème de Pythagore

[PhilipeHook]

Merci de ta réponse, je savais déjà ce que tu as énoncé dans tes deux premiers tirets.
Mais je n'ais pas saisis pas ce que tu voulais dire dans le troisième.
(Au passage je ne suis donc pas plus avancé)

[mathelot]

Merci de ta réponse, je savais déjà ce que tu as énoncé dans tes deux premiers tirets.
Mais je n'ais pas saisis pas ce que tu voulais dire dans le troisième.
(Au passage je ne suis donc pas plus avancé)

Quel est la nature du triangle ADM ?

[PhilipeHook]

Isocèle je suppose, mais si c'est le cas, comment le prouver ?

[mathelot]

Isocèle je suppose, mais si c'est le cas, comment le prouver ?

cherche un peu, c'est moins difficile que ce que l'on peut en penser.

[PhilipeHook]

Chose que j'ai faite...
Mais j'en suis parvenu pour la réponse 1 que :

Étant donné que le triangle ADM est isocèle accompagné bien sûr d'une démonstration (que je n'ai pas encore trouvé)
On peut en déduire que :
(AJ ; AM) = (AB ; AD) - (AM ; AD)
= π/2 - 5π/12
= π/12

Dois-je mettre modulo (2π) ?

[mathelot]

Chose que j'ai faite...
Mais j'en suis parvenu pour la réponse 1 que :

Étant donné que le triangle ADM est isocèle accompagné bien sûr d'une démonstration (que je n'ai pas encore trouvé)
On peut en déduire que :
(AJ ; AM) = (AB ; AD) - (AM ; AD)
= π/2 - 5π/12
= π/12

Dois-je mettre modulo (2π) ?

non, ce n'est pas la peine.

[Carpate]

Bonjour,
C'est assez curieux tu exploites très bien le fait que le triangle ADM est isocèle en D mais il ne te saute pas aux yeux que le triangle MCD étant équilatéral et dont le côté CD est commun avec un côté de longueur a du carré ABCD, AD = DM = a

[PhilipeHook]

Bonjour,

En effet je n'ai pas tilter sur quelque chose pourtant me paraissant maintenant simple.

J'ai donc actuellement ceci pour la question 1) :


Le triangle DMC étant équilatéral et dont le côté DC est commun avec un côté de longueur a du carré ABCD alors AD = DM = a
Ce qui fait du triangle ADM un triangle isocèle.

Étant donné que le triangle ADM est isocèle en D

On peut en déduire que :
(AJ ; AM) = (AB ; AD) - (AM ; AD)
= π/2 - 5π/12
= π/12


Normalement tout est bon.
Mais c'est pour la question deux que ça se gâte.

Je serais tenter de faire un peu comme la partie en déduire (celle un peu plus haut) mais j'ai essayé et ça ne me mène nulle part. Ou bien un peu de théorème de Pythagore mais ne connaissant pas la valeur des côtés...

Et en ce qui concerne la question trois je pense qu'il faut peut être prendre les coordonnées et s'aider de ce qui à été obtenu dans la réponse deux.

[mathelot]

il s'agit de suivre l'énoncé:

on calcule d'abord IM avec Pythagore ((IM) médiatrice de [C;D]) puis MJ puis AM, toujours grâce à Pythagore

[PhilipeHook]

Donc si j'ai bien compris j'ai ID = 0.5 ; DM = 1 car a = 1

Ce qui me permet de faire :

sin(M) = opposé/hypoténuse
sin(30)= 0.5/1 ? Ou alors j'ai mal compris.

[mathelot]

avec Pythagore

[PhilipeHook]

Mais du coup au final en enlevant le carré on obtient moins que 0,75 (a = 1) ce qui est faux (se voit graphiquement).

[PhilipeHook]

Autant pour moi, petite erreur de calcul (mal écris dans la calculatrice ça donne donc environ 0,86.

[mathelot]

il faut travailler avec des fractions et des racines carrées, les valeurs décimales approchées ne conviennent pas
pour obtenir les valeurs exactes des sinus et cosinus. Ensuite, la fin de l'exercice est "corsée" et l'on s'en tire en utilisant les valeurs exactes.Avec des valeur décimales, on passe à côté de la démonstration.

Que vaut IM ?

[PhilipeHook]

IM = Racine carrée de 3/4a
Désolé mais je ne suis pas très familier avec l'éditeur d'équation.
Et en effet ça se corse à la fin, je n'ai absolument aucune idée de comment faire (c'est de que l'on voit actuellement en cours)

[Carpate]

IM = Racine carrée de 3/4a

ne fait pas

[PhilipeHook]

avec Pythagore

C'est ce résultat sous racine carrée que je voulais marqué.

[mathelot]

revois ton calcul de IM:

\frac{\sqrt{3}}{2}a entouré de balise [ tex]et /tex avec des crochets..