Résoudre dans Z^3

[guigui51250]

Salut,

encore une équation que je n'arrive pas à résoudre mais celle à aucune idée :

dans

j'ai essayer de la réécrire mais ça donne rien qui me convient

une idée?

[XENSECP]

Niveau lycée ?

[muse]

C'est ce que je me disais :p
Enfin pour le coup je suis en bac+ 3 et je ne sais pas résoudre sa :p

[XENSECP]

Si c'est une quadrique je dirais ... Donc comme pour l'exo "résolution dans N²", je suggère de la réduire et de la paramétrer ;)

[guigui51250]

euh ouè c'est niveau lycée, je vais essayer de suivre tes conseils

[XENSECP]

Niveau lycée je suis sceptique... il doit y avoir une super astuce... :)

[guigui51250]

bah enfait c'est en spé maths et c'est un exo de la partie "prendre des initiatives", c'est bien du niveau lycée mais c'est un peu plus poussé

[XENSECP]

Ok alors raisonnons ^^
z est un entier relatif ! Donc la somme d'inverse d'entier relatif donne un entier relatif... donc moi je vois comme solutions possibles pour x et y : { - 1, 1 }
A toi de voir ce que ça donne en prennant les combinaisons ;)

[guigui51250]

c'est tout? rien d'autre n'est possible?

[L.A.]

Bonjour.

J'ai un début de raissonnement qui vaut ce qu'il vaut :

on multiplie par x²y² : y²+xy+x² = zx²y²

on écrit x=x'd, y=y'd où d=pgcd(x,y) et x',y' p.e.e : y'² + x'y'+x'² = zx'²y'²d²

alors x' divise y'² et y' divise x'² donc x' et y' ont mêmes facteurs dans la dec en nb premiers. étants p.e.e on a x'=+/-1 et y'=+/-1
donc x=+/-d et y=+/-d.

(x et y sont égaux au signe près)

[guigui51250]

ok donc on peut en déduire z en fonction de d mais après ça s'arrète là?

[L.A.]

j'ai montré que pour toute solution (x,y,z) on a x et y égaux au signe près.

on peut donc supposer x=y ou x=-y et finir la résolution à partir de ces hypothèses.

[guigui51250]

ok dacord, tu as prouvé ce que l'on m'avais dit tout à l'heure enfiat ^^ merci je comprend mieux comme ça.

merci et bonne journée

[XENSECP]

Ouais c'est clair que intuitivement ma réponse est bonne et dans un sens je trouve même qu'elle était presque rigoureuse :)

[L.A.]

ouais c'est vrai que la conclusion de XENSqqch était un peu rapide...

les seuls relatifs inversibles sont +1 et -1,OK, mais ici c'est différent : on a une somme de fractions qui donne un relatif : on pourrait se retrouver avec un truc du genre 1/3 +1/3 +1/3 = 1, mais ça n'arrivera pas ici : 1/d² = z ou 3/d² = z n'autorise que d=+/-1

[XENSECP]

Hum... On avait des carrés d'entiers relatifs donc bon ^^ Okay j'ai été un peu vite, mais bon le principal n'est-il pas de trouver ? :P

[guigui51250]

lol non le principal c'est de comprendre ^^ pour pouvoir trouver lors du controle même si j'aurais jamais ça en controle

[L.A.]

L'intuition était bonne certes, et on est sûr de trouver quelques solutions comme ça. Si le but (genre grand thm de Fermat) est de démontrer l'existence de solution, OK et c'est fini.

Mais ici c'est quand même loin d'être suffisant... on ne peut pas savoir si on a trouvé toutes les solutions où s'il en manque.

la morale pour résoudre les équations en arithmétique, selon moi, c'est toujours de chercher à réduire d'abord au maximum les troupes adverses, puis d'achever ou de grâcier les rares qui ont survécu...