Résolution d'une inéquation

[Dorian9261]

Bonjour,
je n'arrive pas à résoudre cette inéquation : x^3 - x^2 + 1 > 0
Si quelqu'un pourrait m'aider, merci et bon aprem' =)

[SaintAmand]

Bonjour,

je n'arrive pas à résoudre cette inéquation : x^3 - x^2 + 1 > 0

Le membre de gauche, comme tout polynôme de degré impair, possède au moins une racine réelle. Pour résoudre cette inéquation il vous faut donc connaitre la ou les racines réelles. Comme ce polynôme n'est pas d'une forme particulière (terme constant nul, racine entière, ...) vous permettant de déterminer ses racines facilement, il vous faut recourir à des méthodes plus générales (méthode de Cardan par exemple) qui ne figurent pas au programme du lycée.

À mon avis votre énoncé n'est pas complet.

[Stephanelam]

Salut,

Ton polynôme de gauche admet une racine réelle et deux racines complexes. La racine réelle est tout sauf évidente donc tu ne peux pas t'en servir, il te faut donc en effet des outils plus poussés comme la méthode de Cardan, ou la méthode de Sotta, mais bonne chance pour les calculs ...

Je rejoins donc SaintAmand, il doit manquer quelque chose dans l'énoncé.

[Dorian9261]

L'énoncé donné indique qu'il faut chercher si :
2, -3, racine de 2, et -0.5 sont ou ne sont pas solutions de x^3-x^2+1 > 0.

Pour aller plus vite je voulais résoudre directement l'inéquation et trouver les solutions pour éliminer celles qui ne le sont pas (et qui sont énoncées dans la consigne).

Et donc si je ne peux pas calculer cette inéquation, il me suffit juste de remplacer dans l'expression, le x par les "solutions" et trouver celles qui sont possibles ?

Merci d'avoir pris le temps de me répondre. :happy3:

[Stephanelam]

Ah ben ça change tout ... tu passes d'un exo niveau MPSI à un exo niveau 3e !

Tu remplaces en effet x par les valeurs proposées, et tu regardes si l'inégalité est vraie, si oui, c'est que la valeur proposée testée appartient à l'ensemble des solutions de x^3-x^2+1 > 0.

:happy3:

[Dorian9261]

D'accord merci beaucoup ! :happy3:

[Stephanelam]

Je t'en prie !

:happy3:

[SaintAmand]

Et donc si je ne peux pas calculer cette inéquation, il me suffit juste de remplacer dans l'expression, le x par les "solutions" et trouver celles qui sont possibles ?

Évidemment c'est une solution. Mais il y a mieux, quoiqu'un peu hors-programme, et pourtant facile à démontrer.

Un premier résultat qui se démontre en une ligne (fais-le).
1. Si un polynôme à coefficients entiers (c'est le cas ici) possède une racine entière alors celle-ci divise le coefficient constant (sans x).

Ex: P(x)=x^2+3x-18. 18 est le coefficient constant. Donc les racines entières (s'il y en a) sont des diviseurs de 18. Ainsi on peut affirmer que 5 n'est pas une racine car 5 ne divise pas 18. En revanche, 2 et 3 divise 18, et il faut tester pour voir que 3 est une racine et 2 ne l'est pas.

Un second résultat qui généralise le premier et qui se démontre facilement en terminale.
2. Si un polynôme à coefficients entiers possède une racine rationnelle p/q avec pgcd(p,q)=1 (ie p/q sous forme irréductible), alors p divise le coefficient constant, et q divise le coefficient dominant.

Ex: P(x)=2x^4-3x^2+5. 2 est le coefficient dominant. Ses diviseurs sont -1,-2,2, et 1. 5 est le coefficient constant. Ses diviseurs sont -5,-1,1 et 5. Donc les racines rationnelles, s'il y en a, sont parmis 1, 5, 1/2, 5/2 et leurs opposés.

[Dorian9261]

Bonsoir,

Je dois faire un exercice pour demain, dans lequel on doit résoudre un système d'inéquations. Je ne sais pas comment fait-on. Faut-il calculer séparément les deux membres ou y'a-t-il un autre procédé ?
Voici le système :

2x + 1 supérieur ou égal à x - 5
5 - x supérieur ou égal à 3x - 1

Voilà =)