Résolution d'un système par Gauss

par **nico3004** » 30 Aoû 2010, 20:22

Bonsoir, il m'est demandé dans un exercice de résoudre ce système par la méthode de Gauss :

x + y - 2z + u + 3v = 1
2x - y + 2z + 2u + 6v = 2
3x + 2y - 4z - 3u - 9v = 3

Seulement, cela me semble un peu irréaliste... 3 équations et 5 inconnues... à moins que u et v soient des constantes...

Comment feriez-vous ?

par **Rebelle_** » 30 Aoû 2010, 20:24

Bonsoir =)

Peut-être u et v sont-ils ce que l'on appelle des paramètres ? Dans ce cas une étude de cas s'impose je crois :/

Bon courage :)

par **Dinozzo13** » 30 Aoû 2010, 20:46

En effet oui, si u et v désignent deux paramètre réel alors il n'y a que 3 inconnues.

Néanmoins si on nomme E, E' et E'' les trois équations tu vois que E''=E+E' donc ce qui revient à résoudre un système de deux équations à trois inconnues donc le système admet une infinité de solutions

par **ft73** » 30 Aoû 2010, 20:59

* u et v sont certainement des paramètres.
* non il n'y a pas d'étude de cas puisque ce qu'on suppose être les inconnues n'ont que des coeff bien fixés
* E"=E+E' ? euh... pas très loin, certes, mais non :cry:

par **nico3004** » 30 Aoû 2010, 22:18

finalement avec quelle matrice vais-je devoir travailler ?

ps : je ne connais pas la méthode de Gauss, quelqu'un aurait-il le courage de me l'expliquer ?

par **Arnaud-29-31** » 30 Aoû 2010, 22:50

Bonsoir,

Comme le dit si bien la charmante Rebelle, u et v doivent être des paramètres alors que x, y et z sont des variables. La différence est que u et v sont fixés, ce sont des constantes mais des constantes qui peuvent prendre n'importe quelle valeur (ici dans R) il faut donc envisager toutes ces valeurs et parfois faire des disjonctions de cas.

Je te donne un exemple :
x + 2y = 3
x + u.y = 4 On voit bien que le cas u = 2 est à traiter à part ...

Pour ce qui est de la méthode du pivot de Gauss, il s'agit d'utiliser la méthode de résolution par combinaison de manière à trianguler le système (plus de x sur la deuxième ligne et plus de x ni de y sur la dernière)

par **nico3004** » 30 Aoû 2010, 22:55

hmmmmm...
est-ce que tu pourrais me donner un second exemple, je ne comprends pas celui que tu as donné, on voit tout de suite qu'il est impossible que u soit égal à 2

par **ft73** » 31 Aoû 2010, 07:05

Arnaud-29-31 a écrit:La différence est que u et v sont fixés, ce sont des constantes mais des constantes qui peuvent prendre n'importe quelle valeur (ici dans R) il faut donc envisager toutes ces valeurs et parfois faire des disjonctions de cas.

Je te donne un exemple :
x + 2y = 3
x + u.y = 4 On voit bien que le cas u = 2 est à traiter à part ...

Ben non, je le répète.
Ici tu mets u en coeff de x,y,z, ce qui n'est pas le cas du système considéré. Les valeurs de u et v ne sont ici pas à discuter, en tout cas pour la résolution basique du système.

par **Arnaud-29-31** » 31 Aoû 2010, 09:03

nico3004 a écrit:hmmmmm...
est-ce que tu pourrais me donner un second exemple, je ne comprends pas celui que tu as donné, on voit tout de suite qu'il est impossible que u soit égal à 2

Et oui si a = 2 le système n'a aucune solution

Il en existe plein des exemple tout simples, comme :

a.x + b.y = 2
x + y = 1
Ici c'est le cas a = b qui est à mettre à part

ft73 a écrit:Ici tu mets u en coeff de x,y,z, ce qui n'est pas le cas du système considéré.

Bien sur que ce n'est pas le cas du système considéré, c'est pour montrer ce qu'est un paramètre et illustrer une disjonction de cas qui saute aux yeux.

De plus, il est clair le déterminant du système est nul (si on compare la ligne (2) avec 3*(3) - 7*(1)) ... Ce qui m'incite à dire qu'à un moment ou à un autre on va bien être forcés de discuter les valeurs de u et v.

par **Rebelle_** » 31 Aoû 2010, 11:35

Bonjour à tout le monde =)

ft73, je n'arrive pas à comprendre comment on pourrait avoir un système paramétré sans étude de cas nécessaire ? Puisque, par essence, les paramètres - certes fixés - ont des valeurs que l'ont ne connait pas. Je ne vois pas comment on pourrait se passer d'une disjonction de cas. :/
Enfin, c'est peut-être parce que mon niveau n'est pas assez élevé et que je n'ai jamais rencontré le cas dont tu parles. :)

PS : merci Arnaud-29-31. =P

par **Dinozzo13** » 31 Aoû 2010, 15:09

Plus d'inconnues que d'équations = infinité de solutions

par **Rebelle_** » 31 Aoû 2010, 15:10

Dinozzo13 a écrit:Plus d'inconnues que d'équations = infinité de solutions

Oui enfin là, à moins que je ne me trompe, il y a autant d'inconnues que d'équations, le reste étant des paramètres.
Ou alors je n'ai rien compris :/

par **Billball** » 31 Aoû 2010, 15:12

Rebelle_ a écrit:Oui enfin là, à moins que je ne me trompe, il y a autant d'inconnues que d'équations, le reste étant des paramètres.
Ou alors je n'ai rien compris :/

késako?

si tu veux avoir un nb limité de solutions oui

par **Rebelle_** » 31 Aoû 2010, 15:13

Pour moi u et v étaient des paramètres, donc pour résoudre le système il fallait en tenir compte et faire une étude de cas.

par **Billball** » 31 Aoû 2010, 15:14

Rebelle_ a écrit:Pour moi u et v étaient des paramètres, donc pour résoudre le système il fallait en tenir compte et faire une étude de cas.

ouai exact, sinon ca n'a aucun sens de résoudre un tel système

par **Rebelle_** » 31 Aoû 2010, 15:15

Donc c'est bien ce que je pensais : dans le cas présent on a bien autant d'équations que d'inconnues ?

par **ft73** » 31 Aoû 2010, 15:15

Tu as tout à fait raison dans ce que tu écris, sauf qu'ici ton système n'est PAS paramétré ! Les paramètres u et v n'entrent pas en jeu dans la structure du système. En clair, ce sont juste des nombres qui sont à placer dans les seconds membres des équations.

Ici, géométriquement, la seule discussion possible concerne les positions des plans, non leurs directions. En l'occurrence, la "disjonction de cas" est ici un grand mot, du moins il me semble, dans le sens où l'un des cas est une nécessairement une impasse (2 plans strictement parallèles).

par **Rebelle_** » 31 Aoû 2010, 15:17

Ah d'accord, ok ça me va je comprends.
Merci beaucoup pour l'explication =)

par **Nightmare** » 31 Aoû 2010, 15:23

Salut à tous,

pourquoi considèrerait-on u et v comme des paramètres? Pour moi, c'est bien un système de 3 équations à 5 inconnues, dont l'espace des solutions n'est certes pas un singleton, mais ça n'empêche pas de pourvoir le décrire !

par **Arnaud-29-31** » 31 Aoû 2010, 15:23

Prenons un exemple similaire en 2 dimensions :
x + y = 1
x + y = a

Le paramètre a est juste un nombre à placer dans le second membre et pourtant il va falloir discuter la valeur de a : les deux droites décrites sont parallèles ou confondues ? (autrement dit pas de solution ou bien une infinité ?)

Si l'on revient à notre problème, la rédaction finale sera bel et bien :
" - Si u et v vérifient ..... alors ....
- Si u et v vérifient .... alors .... "
Je persiste à appeler ça une disjonction de cas.

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