Résolution inéquation avec exponentielles

[theclem]

Bonsoir à tous,

Je rencontre un soucis dans la résolution d'un exercice.
Il est le suivant:

Il faut démontrer à partir de
(1) e^(-1/n+1) > ou = à 1-(1/n+1)

que pour tout entier naturel non nul :
e < ou = à (1+(1/n))^n+1

je trouve 1/e < ou = à (1-(1/n+1))^n+1 mais je n'arrive pas au résultat exacte. :triste:

Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce, ce serait très gentil =).
Merci d'avance.

[bombastus]

Bonsoir,

et si tu inverse 1/e < ou = à (1-(1/n+1))^n+1, qu'obtiens-tu? Comment le simplifier?

[theclem]

Je me suis trompée,

je trouve :

1/e > ou = à (1-(1/n+1))^n+1 ( je m'étais trompée dans le sens du signe de l'inégalité)

[bombastus]

Oui, effectivement, je n'avais pas vérifier le signe de l'inégalité.

Et maintenant, si tu inverses l'expression (pour obtenir e), qu'obtiens-tu et comment le simplifier.

[theclem]

ce que je trouve n'est pas le bonne solution :/
si j'inverse le sens de l'inégalité à partir de l'inégalité de départ je trouve:
(1/n+1)-1 > ou = à -e^(-1/n+1)

[bombastus]

Ce n'est pas le sens de l'inégalité que je te demande d'inverser, mais les termes à droite et à gauche de l'inégalité!

Tu as obtenu :
1/e > ou = à (1-(1/n+1))^n+1

Or 1/(1/e) = e

et si tu inverses le terme à gauche?

[theclem]

je trouve , en inversant le terme de droite, : 1/(1-(1/n+1))^n+1 ce qui fait (1-(1/n+1))^-n-1

[theclem]

sauf que je ne vois pas comment règler le problème avec le term (1-(1/n+1))^-n-1
:/

[bombastus]

Ok arretons nous 5mn sur cette expression :
1/(1-(1/(n+1)))^n+1

Ne pourrais-tu pas simplifier 1-(1/(n+1)) ?

[theclem]

ah oui !
je trouve n/n+1

[bombastus]

Et ensuite?

[theclem]

Ce qui me donne e> ou = à 1/(n/n+1)^n+1

[bombastus]

Et après? (tu y es presque...)

[theclem]

e> ou = à 1 * ((n+1)/n) ^n+1
ce qui donne e> ou = à (1+1/n)^n+1
je trouve le bon résultat, sauf que le sens de l'inégalité n'est pas celui que je suis censée trouver.

[theclem]

j'ai du oublier d'inverser le signe lors d'une opération surement.
Merci beaucoup pour votre aide!

J'ai une dernière petite question,
dans la question précèdent celle-ci, j'ai trouvé: (1+(1/n))^n< ou = à e
en complètant ce résultat par celui que je viens de trouver, je dois déduire un encadrement de (1+(1/n))^n .

Je trouve 0< ou = à (1+(1/n))^n < ou = à e
mais il me semble que ce n'est pas assez précis.
Dois-je plus approfondir?

[bombastus]

j'ai du oublier d'inverser le signe lors d'une opération surement.
Merci beaucoup pour votre aide!

Effectivement, tu as fais une erreur sur lors de l'inversion : pourquoi faut-il inverser le signe?

Je regardes ton autre qestion.

[theclem]

il faut inverser le signe lorsqu'on multiplie ou on divise par un nombre négatif me semble-t-il.
est-ce lorsque j'ai fait l'inverse de chaque terme qu'il fallait que j'inverse le sens ?

[bombastus]

J'ai une dernière petite question,
dans la question précèdent celle-ci, j'ai trouvé: (1+(1/n))^n< ou = à e
en complètant ce résultat par celui que je viens de trouver, je dois déduire un encadrement de (1+(1/n))^n .

Je trouve 0< ou = à (1+(1/n))^n < ou = à e
mais il me semble que ce n'est pas assez précis.
Dois-je plus approfondir?

Ce ne serait pas plutôt un encadrement de e que tu dois trouver?

[theclem]

non justement, c'est ce qui me semble bizarre.
Je dois déduire un encadrement de (1+(1/n))^n et sa limite en + l'infini, exactement.

[bombastus]

Ok, alors,
quant tu trouves :
0< ou = à (1+(1/n))^n < ou = à e
tu n'as pas vraiment utiliser la deuxième relation que tu as trouvé (dire que (1+(1/n))^n>= 0, on le savait avant)

Mais en partant de :
e> ou = à (1+1/n)^n+1
peux-tu faire apparaître (1+1/n)^n dans cette inégalité?