Résolution d'inéquation avec racine carrée

[racinedex]

Bonjour,

Je suis en classe de 1ère S et j'ai un devoir de rédaction en mathématiques. L'exercice consiste à résoudre une inéquation de type:

sqrt(x²+x-2)-2x >= -2

J'ai déjà essayé de mettre tout au carré, mais bien sûr, j'ai appris par la suite qu'il était impossible de mettre une inéquation au carré. Trop beau pour être vrai.

J'ai alors tenté de factoriser l'expression dans la racine, pour obtenir:

sqrt(x+1/2)²-9/4)-2x >= -2

sqrt((x-7/4)(x+11/4))-2x >= -2

Mais je ne sais pas si cela peut me mener à grand chose.

Je sèche donc sur ce calcul, et vos conseils et réponses me seraient d'une grande aide.

Merci d'avance,

racinedex

[Sake]

Bonjour,

Je suis en classe de 1ère S et j'ai un devoir de rédaction en mathématiques. L'exercice consiste à résoudre une inéquation de type:

sqrt(x²+x-2)-2x >= -2

J'ai déjà essayé de mettre tout au carré, mais bien sûr, j'ai appris par la suite qu'il était impossible de mettre une inéquation au carré. Trop beau pour être vrai.

J'ai alors tenté de factoriser l'expression dans la racine, pour obtenir:

sqrt(x+1/2)²-9/4)-2x >= -2

sqrt((x-7/4)(x+11/4))-2x >= -2

Mais je ne sais pas si cela peut me mener à grand chose.

Je sèche donc sur ce calcul, et vos conseils et réponses me seraient d'une grande aide.

Merci d'avance,

racinedex

Salut,

On voit que tu étais particulièrement inspiré lors de ton inscription !

Rien ne t'interdit d'élever une inéquation au carré car la fonction carré est strictement croissante tant que l'on travaille sur R+*

sqrt(x²+x-2) >= -2+2x
x²+x-2 est positif pour x >= 1, -2+2x aussi, nous pouvons travailler en élevant le tout au carré.
Il s'avère que x²+x-2 est aussi positif pour x <= -1, que peut-on dire de 2x-2 dans cet intervalle ?

[racinedex]

Merci beaucoup de votre réponse.

Il est vrai que avec les deux membres positifs lorsque x>=1 on peut mettre au carré. Une fois que l'on a tout développé on obtient bien que la réponse est seulement vraie pour x compris entre [1;2].

Et aussi lorsque x<=-2, l'inéquation est toujours vraie car on a sqrt(x²+x-2) >= -2+2x:
le membre de droite sera toujours positif et de gauche toujours négatif donc c'est bel et bien vérifié.

Ce qui nous donne au final:

sqrt(x²+x-2)-2x >= -2 a pour solutions S=]-infini;-2]U[1;2].

Merci beaucoup de votre aide !