Répresentations graphiques

[Anonyme]

Bonjour, je bloque pour une question vraiment stupide qui est la suivante !

J'ai une fonction f : x²+1
et une fonction g : 2/x

Comment démontrer que ces deux fonctions sont sécantes en un point ?
( + déterminez coordonnées)

Je sais qu'il faut faire un truc du genre f=g mais je n'y arrive pas !

Merci !

[Nightmare]

Ben tu as tout dit, il suffit de résoudre x²+1=2/x

[Quidam]

Bonjour, je bloque pour une question vraiment stupide qui est la suivante !

J'ai une fonction f : x²+1
et une fonction g : 2/x

Comment démontrer que ces deux fonctions sont sécantes en un point ?
( + déterminez coordonnées)

Je sais qu'il faut faire un truc du genre f=g mais je n'y arrive pas !

Merci !

Sauf erreur, on ne parle pas de "fonctions sécantes" ! Des courbes peuvent être sécantes...

Pour la question du nombre des solutions de f et de g, tu as intérêt à étudier les sens de variation de f et g.

Pour trouver les coordonnées, cherche des racines évidentes à cette équation du troisième degré !

[Noemi]

Résoudre l'équation f(x = g(x)
Soit x^2+1 = 2/x
ou x^2+1-2/x = 0
Tu réduis au même dénominateur
si x non nul : x^3+x-2 = 0
Une racine évidente x = 1
x^3+x-2 = (x-1)(x^2+x+2)

Je te laisse poursuivre

[Anonyme]

le delta est négatif , comment poursuivre ?

[Nightmare]

En regardant ton cours :lol3:

[Anonyme]

Sauf erreur, on ne parle pas de "fonctions sécantes" ! Des courbes peuvent être sécantes...

Pour la question du nombre des solutions de f et de g, tu as intérêt à étudier les sens de variation de f et g.

Pour trouver les coordonnées, cherche des racines évidentes à cette équation du troisième degré !

désolé erreur de recopiage ^^

[Quidam]

le delta est négatif , comment poursuivre ?

Peut-être, mais le w est positif !

[Noemi]

x^2 + x + 2 >0 donc f(x) = g(x) si x = 1

[Quidam]

x^2 + x + 2 >=0 donc f(x) = g(x) si x = 1

Non ! x^2 + x + 2 >=0 n'est ni nécessaire ni suffisant pour prouver que "si x=1 alors f(x)=g(x)". Cela n'a rien à voir ! Et cela ne suffit pas non plus à prouver que si f(x) = g(x) seulement si x=1, ce qu'il faut effectivement démontrer !

[Anonyme]

Donc ... :hein:

[Quidam]

Bon, tu n'as pas compris ! Je reprends !
J'ai d'abord dit que l'on tombait sur une équation du troisième degré !
Oui ! Car est équivalente à :
(en multipliant les deux membres par x qui est forcément non nul, car x se trouve au dénominateur : une division par 0 ne peut se faire ! Ce n'est donc pas nécessaire de préciser "si x non nul")
On obtient alors l'équation qui est bien du troisième degré !

Noemi a préféré réduire au même dénominateur :



Et, comme une fraction est nulle si et seulement si son numérateur l'est, on tombe sur l'équation :

Ce qui est bien entendu la même équation que celle que j'ai obtenue (mais je suis bien plus paresseux que Noemi, alors, pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?)

Là-dessus, Noemi remarque que 1 est une solution évidente. En effet, posons . Il est évident que h(1)=0 ! Par conséquent (voir ton cours) h(x) peut s'écrire pour des valeurs judicieusement choisies de a, b et c. Et Il est facile de trouver effectivement que .

N'oublions pas ce que nous sommes en train de faire ! Nous sommes en train de rechercher les solutions de f(x)=0. Et pour cela, nous sommes en train de transformer f(x) en un produit de facteurs ! Reste à factoriser
Alors, que fait-on pour cela ?

le delta est négatif , comment poursuivre ?

Cela prouve que tu as oublié ce que nous sommes en train de faire ! Pas bon, pas bon, ça !
D'abord, je t'ai répondu une absurdité !

Peut-être, mais le w est positif !

Pourquoi donc ? Apparemment, tu n'as pas compris non plus ! Delta est une lettre, une lettre grecque, certes, mais une simple lettre quand même ! C'est comme si tu disais : "le w est positif !" ou bien "r vaut 3" ! Aucun intérêt ici puisque tu n'as pas dit ce qu'était Delta, ni w, ni r ! Certes, je joue à celui qui ne comprends rien ! Mais j'ai de bonnes raisons ! Je voudrais te faire comprendre que si tu rencontres une équation : , ce sera une équation du deuxième degré au même titre que ax²+bx+c=0 ! Les lettres , , ne sont que des noms de variables, et n'est absolument pas réservée au traitement des équations du second degré, tout comme rien ne t'empêche d'appeler j l'expression b²-4ac que tu calcules quand tu résouds l'équation ax²+bx+c=0 ; rien ne t'oblige à l'appeler !

Par conséquent, quand tu parles de Delta, je fais semblant de ne pas comprendre ! Delta n'est rien tant que tu ne l'as pas défini ! Et cette expression porte un nom : l'expression b²-4ac calculée pour résoudre une équation ax²+bx+c s'appelle le discriminant de l'équation. Cela ne me gêne pas que tu l'appelle Delta ! C'est semble-t-il l'usage ! Ce qui me gêne, c'est que tu fasses référence à Delta sans avoir pris la peine de le définir : "soit le discriminant de ce trinôme". A partir de ce moment là, tu peux te plaindre "Delta est négatif, que faire pour poursuivre ?"

A présent revenons à la brillante et extrêmement pertinente réponse de Nigthmare :

En regardant ton cours :lol3:

Ton cours te rappellera que si le discriminant d'un trinôme du second degré est négatif, cela veut dire que le trinôme ne s'annulle pour aucune valeur de la variable x, qu'il n'a donc pas de racine, qu'il ne peut donc pas se factoriser ! Et c'est exactement cela qu'on est en train de faire : chercher les racines de , ce qui revient, puisqu'on a déjà factorisé en , à chercher les racines de . Je sais, tu avais complètement oublié ce que tu étais en train de faire ! C'est pour cela que tu ne sais pas "poursuivre". La suite, c'est "puisque le discriminant est négatif, ne peut être nul et par conséquent l'équation se ramène à x-1=0, ou x=1 ! L'équation n'a qu'une seule solution : x=1 !

C'est ce que Noemi a voulu dire en écrivant dans un premier temps :

x^2 + x + 2 >=0 donc f(x) = g(x) si x = 1

Mais justement, on sait que n'a pas de racine ; donc l'expression est strictement positive, et non pas simplement positive ou nulle ! Et c'est bien à cause de cela que l'équation n'a qu'une seule racine. Donc Noemi a corrigé et écrit :

x^2 + x + 2 >0 donc f(x) = g(x) si x = 1

Mais il semble que Noemi n'a pas tout compris non plus ! J'ai précisé "seulement si" !

Noemi a dit : x^2 + x + 2 >0 donc f(x) = g(x) si x = 1, ce qui se traduit par :

Ou encore "1 est une des solutions de f(x)=g(x)"
En fait elle voulait dire : x^2 + x + 2 >0 donc f(x) = g(x) si et seulement si x = 1, ce qui se traduit par :
Ou encore "1 est solution de f(x)=g(x) et c'est la seule"

Donc ... :hein:

Donc c'est fini ! La seule solution de f(x)=g(x) est x=1 ! Les courbes représentatives de f et g sont sécante en un seul point de coordonnées (1,f(1=g(1))