Fonctions et graphiques - Intersections de graphiques

[Telpy]

Bonjour à tous,

Je suis devant un exercice sur les intersections de graphiques de fonctions du second degré que je n'arrive pas à résoudre.

La question se pose ainsi : Pour quelles valeurs de p le graphique f n'a-t-il aucun point d'intersection avec l'axe des x ?



Peut être que je fais fausse route depuis le début mais je me suis dit que pour que la fonction n'ait pas d'intersection avec l'axe des x, il me fallait calculer pour quelles valeurs de p celle-ci en avait.

J'ai donc posé







Et la je dois avouer que je ne sais plus quoi faire et je reste sans réponse.

Pourriez-vous m'indiquer dans quel sens mon raisonnenment est incorrect ou incomplet et sous quel angle il faut que j'aborde la chose.

Merci d'avance,

Telpy

[Pseuda]

Bonjour,

Tu es bien parti en cherchant à résoudre pour quelles valeurs de p l'équation f(x)=0 a des solutions. Le seul problème c'est la suite : tu as certainement dû voir la résolution d'une équation du 2nd degré ?

[Lostounet]

Bonjour à tous,

Je suis devant un exercice sur les intersections de graphiques de fonctions du second degré que je n'arrive pas à résoudre.

La question se pose ainsi : Pour quelles valeurs de p le graphique f n'a-t-il aucun point d'intersection avec l'axe des x ?



Peut être que je fais fausse route depuis le début mais je me suis dit que pour que la fonction n'ait pas d'intersection avec l'axe des x, il me fallait calculer pour quelles valeurs de p celle-ci en avait.

J'ai donc posé







Et la je dois avouer que je ne sais plus quoi faire et je reste sans réponse.

Pourriez-vous m'indiquer dans quel sens mon raisonnenment est incorrect ou incomplet et sous quel angle il faut que j'aborde la chose.

Merci d'avance,

Telpy

Salut Telpy,

Ta méthode peut aboutir mais il faut garder à l'esprit ce que l'on souhaite faire.

On souhaite trouver les valeurs de p telles que la courbe ne touche pas l'axe des abscisses, c'est-à-dire les valeurs de p telles que l'équation f(x) = 0 n'admette aucune solution.

Ce que tu as fait, c'est procéder par contraposition: tu as voulu trouver p tel que f(x) = 0 admette des solutions.

Tu cherches donc, pour x différent de -1, les valeurs de p tel que admette des solutions. Pour ce faire, tu dois faire une étude de fonctions et construire le tableau de variations de g(x) = (x^2 + 3)(x + 1) qui est une fonction homographique.

Au final, ta démarche peut marcher mais elle suppose la connaissance des homographies et de leurs variations.

Un autre angle d'attaque pourrait consister en un constat plus simple: une équation du second degré n'a pas de solutions si et seulement le discriminant D est strictement négatif.

Cela signifie que si D = b^2 - 4ac < 0 , c'est que la parabole est soit totalement au dessus, soit totalement au-dessous de l'axe des abscisses. En l'occurrence, elle sera ici toujours au dessous ou sur l'axe (car le coefficient devant x^2 est négatif!). Il suffit donc de calculer les discriminant en fonction de p puis résoudre une inéquation en p.

[Telpy]

Merci à vous deux pour vos réponses rapides , et surtout à toi Lostounet pour la réponse concise et exhaustive.

Voir les choses sous l'angle du discriminant strictement négatif m'a permis de trouver la solution aisément.

Donc pour ceux que ça intéresse, j'ai finalement posé :

Si n'admet aucune solution alors Δ de est strictement négatif.

Δ < 0

[Lostounet]

Hey,

Si on souhaitait continuer ce que tu avais commencé. Traitons le cas x = -1.
On constate que si x = -1, c'est que -3 = 0 donc l'égalité n'est de fait vraie pour aucun p et cela n'apporte aucune information.

Dans les autres cas, on souhaite que l'égalité (x^2 + 3)/(x + 1) = p ne soit jamais vraie.

Pour cela, on pose définie et dérivable sur l'ensemble des réels privé de -1. Elle a pour limites +- l'infini quand x tend vers + infini ou - infini.

Elle a pour dérivée: qui est donc négative sur il s'ensuit que la fonction g est décroissante sur [-3; -1[ puis sur ]-1 ; 1]. La courbe de g possède une asymptote verticale en x = -1 et on constate que le maximum local de g est au point x = -3 pour lequel g(-3) =-6
et le minimum local de g est au point x = 1 et g(1) = 2. On peut donc regrouper ces informations dans un tableau de variations.

En conclusion, voici le graphe de la fonction g et les deux bandes y = 2 et y = -6.



Comment cela répond-il à la question posée ?! On constate que si y = p et que p est compris entre -6 et 2, c'est que l'équation n'a pas de solution !! (Pas d'intersection entre la droite y = p et la courbe de g). Cela confirme donc ton résultat

Bonjour à tous,

Je suis devant un exercice sur les intersections de graphiques de fonctions du second degré que je n'arrive pas à résoudre.

La question se pose ainsi : Pour quelles valeurs de p le graphique f n'a-t-il aucun point d'intersection avec l'axe des x ?



Peut être que je fais fausse route depuis le début mais je me suis dit que pour que la fonction n'ait pas d'intersection avec l'axe des x, il me fallait calculer pour quelles valeurs de p celle-ci en avait.

J'ai donc posé







Et la je dois avouer que je ne sais plus quoi faire et je reste sans réponse.

Pourriez-vous m'indiquer dans quel sens mon raisonnenment est incorrect ou incomplet et sous quel angle il faut que j'aborde la chose.

Merci d'avance,

Telpy

[zygomatique]

Merci à vous deux pour vos réponses rapides , et surtout à toi Lostounet pour la réponse concise et exhaustive.

Voir les choses sous l'angle du discriminant strictement négatif m'a permis de trouver la solution aisément.

Donc pour ceux que ça intéresse, j'ai finalement posé :

Si n'admet aucune solution alors Δ de est strictement négatif.

Δ < 0

le passage à cette dernière ligne avant le résultat est bien maladroit et montre la méconnaissance des résolutions des inéquations ...





est évidemment ce qu'il faut écrire ...

[Pseuda]

le passage à cette dernière ligne avant le résultat est bien maladroit et montre la méconnaissance des résolutions des inéquations ...





est évidemment ce qu'il faut écrire ...

Bonjour zygomatique,

Perso je ne vois pas le problème dans la résolution de Telpy, sauf qu'il manque peut-être une étape :






Mais je te l'accorde, ce n'est pas académique au niveau lycée.

[Telpy]

Oui, j'avoue que pour ces dernières lignes je n'étais pas sûr, n'ayant pas beaucoup pratiqué les inéquations.

Avec ma méthode j'arrivais à :







Le problème étant la seconde partie de la réponse, j'ai écrit, et ce maladroitement :




car je savais que lors de la résolution d'une inéquation lorsque l'on multiplie ou divise les membres par un nombre négatif le signe de celle-ci s'inverse. Même si, à quelque part, je savais que multiplier le membre de droite sans multiplier le membre de gauche était erroné.

En tous les cas, merci de m'avoir corrigé et de m'avoir montré la façon correcte de résoudre cette inéquation, je saurai m'en souvenir .

[Lostounet]

car je savais que lors de la résolution d'une inéquation lorsque l'on multiplie ou divise les membres par un nombre négatif le signe de celle-ci s'inverse. Même si, à quelque part, je savais que multiplier le membre de droite sans multiplier le membre de gauche était erroné.

Par contre un flou persiste... Tu n'as pas multiplié ni divisé l'inéquation par un nombre négatif. Mais tu as pris la racine carrée des deux membres (qui semblent positifs non?!)

Alors pourquoi y a-t-il une "perte d'information" / pourquoi on perd en faisant cela? On voit bien que ce n'est pas totalement "erroné" mais cela ne conduit qu'à une partie de la solution (enfin un surplus de solutions). Alors pourquoi... à méditer :p (Essaye de trouver la réponse).

Et surtout comment ne pas "oublier une partie de la réponse" à l'avenir?

[Telpy]

Parce que par définition le résultat d'une racine carrée est toujours un nombre positif. Par conséquent en appliquant la racine sur les deux membres de l'inéquation j'ai supposé que la réponse était strictement positive. Je pense que la "perte d'information" vient de là. Alors que lors de la factorisation, comme l'a suggéré Zygomatique, nous n'omettons aucune solution.

[Lostounet]

Parce que par définition le résultat d'une racine carrée est toujours un nombre positif. Par conséquent en appliquant la racine sur les deux membres de l'inéquation j'ai supposé que la réponse était strictement positive. Je pense que la "perte d'information" vient de là. Alors que lors de la factorisation, comme l'a suggéré Zygomatique, nous n'omettons aucune solution.

C'est un peu ça.

En effet le fait que n'est vrai que lorsque (p+2)>=0 ie p>=-2.

Dans le cas où p<-2,

Ce qui conduit à deux inéquations de degré 1 (deux cas à traiter): p+2<4 et p>=-2 OU -(p+2)<4 et p<-2
-2<=p<2 OU -2 >= p>=-6 donc -6<p<2

Pour éviter cette difficulté (les contraintes de la racine sont implicites!), on préfère toujours factoriser et faire une étude de signe.

[zygomatique]

c'est pourquoi et que ce soit une équation ou une inéquation il faut toujours factoriser (après avoir tout mis dans un même membre) et/pour appliquer :

la règle du produit nul pour les équations
la règle des signes pour les inéquations

on est certain de ne jamais oublier une solution


bien entendu sauf cas triviaux : (in)équation du premier degré ou par exemple trivialité du genre ou

avec ce principe de base non seulement je n'ai jamais fait d'erreur de solution (mais parfois des erreurs de calcul bien sur !! ) mais en plus le travail est rigoureux (il y a équivalence entre les étapes)




REM :

et le raisonnement est cette fois rigoureux ...