Repère

par **pianozik** » 05 Juil 2005, 14:06

salut, svp, j'ai une question concernant les repères, voilà la question.
un repère orthogonale c'est que ces deux vecteurs orientateurs vérifies :
i.j=0, c'est à dire qu'ils sont perpendiculaire.
Alors quand on dit que (O, i, j) est un repère orthonormé, i.j=0 est vérifié
et on doit avoir ||i||=||j||=1
D'où allons-nous avoir les coordonnées de "i" et "j" ? Je trouve que si (O, i, j) est orthogonale alors il est orthonormé puisque ses deux vecteurs représentent des unités pour chaque axe.

par **Ismail** » 05 Juil 2005, 14:57

pianozik a écrit:salut, svp, j'ai une question concernant les repères, voilà la question.
un repère orthogonale c'est que ces deux vecteurs orientateurs vérifies :
i.j=0, c'est à dire qu'ils sont perpendiculaire.
Alors quand on dit que (O, i, j) est un repère orthonormé, i.j=0 est vérifié
et on doit avoir ||i||=||j||=1
D'où allons-nous avoir les coordonnées de "i" et "j" ? Je trouve que si (O, i, j) est orthogonale alors il est orthonormé puisque ses deux vecteurs représentent des unités pour chaque axe.

salut
il ne faut pas oublier que ||i||=||j||=1
alors les unités ||i|| et||j||sont respectés seulement avec les mesures algebriques et non pas avec les distances,si||i||=OI=1=OJ=||j||,on dis qu'il est orthonormé
j'espere que tu as compris mon point de vue!

par **khivapia** » 05 Juil 2005, 15:01

Toute la question est de savoir si tu définis ton produit scalaire à partir du repère O,i,j ou si le produit scalaire est défini avant.

En fait, si tu définis le produit scalaire de (x,y) par (x', y') comme étant xx'+yy', alors c'est sûr que vu que toutes tes coordonnées dépendent de i et de j, i et j sont de norme 1 (unitaires) et orthogonaux, ils forment donc avec O un repère orthonormé.

En revanche, le fait de les supposer orthogonaux indique que tu as déjà un produit scalaire (grâce auquel tu définis l'orthogonalité), et donc ton repère ne sera orthonormé que si le produit scalaire de i par lui-même vaut 1, ainsi que le produit de j par lui-même.

par **khivapia** » 05 Juil 2005, 15:02

désolé j'ai été pris de cours ;)

par **pianozik** » 05 Juil 2005, 16:34

tout ce que vous dites est juste, sachant que le produit scalaire est même définie sur un axe, puisque la distance d'un vecteur u(x; x'; ...; x'''''''''''''''''''') dans un repère un n dimension est définie par Rac(u.u) que Rac(u.u)=Rac(x²+x'²+...+(x'''''''''''''''''''')²).
A ce qui concerne ma question, je la reformule, si un repère (O; i; j) est orthogonale, est-ce qu'on peut dire qu'il est orthonormé ?

par **quinto** » 05 Juil 2005, 16:42

pianozik a écrit:A ce qui concerne ma question, je la reformule, si un repère (O; i; j) est orthogonale, est-ce qu'on peut dire qu'il est orthonormé ?

Non, il suffit de prendre |i|=2|j| par exemple.
Ta base B=(e1,e2,...,en) est orthogonale si
ei.ej=0 pour tout i et tout j distincts.

Et elle est orthonormale (orthonormée) si en plus d'être orthogonale, les vecteurs ont tous la même norme qui est 1.

Ca doit pouvoir se traduire par
B=(e1,....,en) est orthonormée si
ei.ej= delta_ij où delta_ij est le symbole de Kronecker.

A+

par **pianozik** » 05 Juil 2005, 17:03

Pour que ||i||=2||j|| on s'est basé sur un repère

par **khivapia** » 05 Juil 2005, 17:05

non en fait on s'est basé sur le produit scalaire qui existe indépendamment du repère.

par **pianozik** » 05 Juil 2005, 17:53

j'ai pas bien compris :confused:

par **khivapia** » 05 Juil 2005, 19:05

Ce que j'ai dit n'est pas tout à fait vrai, je me suis mal exprimé :

Je m'explique :

Tu peux définir ton propre produit scalaire (c'est ce que tu fais) en choisissant deux vecteurs non colinéaires et en disant : "ces vecteurs forment un repère orthonormé". (Cela te définit un unique produit scalaire grâce à l'expression du produit scalaire en fonction des cordonnées)

Mais si tu dis "je choisis deux vecteurs orthogonaux", cela signifie que tu as déjà un produit scalaire (pour définir l'orthogonalité, deux vecteurs étant orthogonaux si leur produit scalaire est nul). Tes deux vecteurs ont donc une norme clairement définie par ce produit scalaire. Et en général ils ne sont pas de norme 1 tous les deux, il n'y a donc pas orthonormalité.

Is it clear ;) ?

par **pianozik** » 06 Juil 2005, 01:03

ton explication is very clear, but, j'ai pas encore trouvé une explication convaincante :rolleyes:

par **Ismail** » 06 Juil 2005, 09:04

je vais te donner un exemple plus explicatif:
si l'on prend un repere (o,i,j) orthogonal,et on veut representer une fonction trigonometrique,.dans l'axe des abscisse,on choisit souvent OI=Pi(ou bien Pi/2...).on prend un point A(x,y)
__
OA=xi
mais: __
OA=OI*OA=Pi*x
donc on ne peut pas dire que le repere est normé.
tu dois faire la difference entre l'abscisse d'un point et sa distance de O

par **pianozik** » 06 Juil 2005, 14:09

là tu m'as convaincu ismail, chapeau ;) , à un prochain test, mdr :p :D

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