5 rennes en ligne tirent un traineau

[ortollj]

Bonjour

Khan Exo
je ne trouve pas la meme solution que celle donnée , et je ne comprends ou je fais l'erreur de raisonement

You need to put your reindeer, Ezekiel, Prancer, Quentin, Lancer, and Rudy,
in a single-file line to pull your sleigh. However,
Rudy and Lancer are fighting, so you have to keep them apart, or they won't fly.

How many ways can you arrange your reindeer?

voila ma solution:
6 facons de ranger les 2 rennes qui ne s'entendent pas
10001
10010
10100

01001
01010

00101
multiplié par le nombre de facon de ranger 3 rennes dans 3 slots=3!=3*2*1=6
je trouve donc 36, la solution donnée 72 me semble aussi correcte quand je suis le raisonnement donné ci dessous.
c'est une histoire de fou !


Forget about the reindeer that can't be together for a second,
and let's try to figure out how many ways we can arrange the reindeer if we don't have to worry about that.
We can build our line of reindeer one by one: there are 5 slots, and we have 5 different reindeer we can put in the first slot.


Once we fill the first slot, we only have 4 reindeer left,
so we only have 4 choices for the second slot. So far, there are 5*4=20 unique choices we can make.

We can continue in this way for the third reindeer, then the fourth,
and so on, until we reach the last slot, where we only have one reindeer left and so we can only make one choice.

So, the total number of unique choices we could make to get to an arrangement of reindeer is 5*4*3*2*1=120.
Another way of writing this is 5! , or 5 factorial. But we haven't thought about the two reindeer who can't be together yet.

There are 120 different arrangements of reindeer altogether,
so we just need to subtract all the arrangements where Rudy and Lancer are together. How many of these are there?
We can count the number of arrangements where Rudy and Lancer are together by treating them as one double-reindeer.
Now we can use the same idea as before to come up with 4*3*2*1=24 different arrangements. But that's not quite right.

Why? Because you can arrange the double-reindeer with Rudy in front or with Lancer in front,
and those are different arrangements! So the actual number of arrangements with Rudy and Lancer together is 24*2=48

So, subtracting the number of arrangements where Rudy and Lancer are together from the total number of arrangements,
we get 72 arrangements of reindeer where they will fly.

[ortollj]

OOUps, il y a 6 rennes !!! :hum: désolé !
je crois que je vais aller dormir !

[chan79]

OOUps, il y a 6 rennes !!! :hum: désolé !
je crois que je vais aller dormir !

Salut
Il y a bien 5 rennes et ta solution est parfaitement correcte. Simplement tu as oublié de multiplier par 2.
En effet, quand tu considères par exemple la disposition 1 0 0 0 1
ça fait bien 3!=6 pour les 3 du milieu mais il faut multiplier par 2 car tu peux permuter les deux qui ne s'entendent pas.
donc 6*2*6=72

[ortollj]

Salut
Il y a bien 5 rennes et ta solution est parfaitement correcte. Simplement tu as oublié de multiplier par 2.
En effet, quand tu considères par exemple la disposition 1 0 0 0 1
ça fait bien 3!=6 pour les 3 du milieu mais il faut multiplier par 2 car tu peux permuter les deux qui ne s'entendent pas.
donc 6*2*6=72

merci beaucoup Chan79, j'ai bien cru que j'avais perdu la tete sur cet exo ! :mur:

[ortollj]

Bonjour
dans le cas generale de n rennes en ligne, et que la bagarre eclate uniquement si ces p rennes sont cote a cote.
une facon elegante et generale de resoudre le probleme.
il suffit de retrancher a la facon de ranger n rennes dans n places, p! fois le nombre de fois ou ces p rennes sont cote a cote
qui est egale a p!((n-p)+1) que multiplie la facon de ranger (n-p) rennes dans (n-p) places= (n-p)!.
dans notre cas n=5 et p=2 on enleve 2((5-2)+1)3!

(5-2)+1) = nombre de fois ou ces 2 rennes sont cote a cote
11000
01100
00110
00011

et voila donc la formule générale
n! - p!((n-p)+1)(n-p)!
dans notre cas
5! - 2.4.3!=72

[ortollj]

en fait ce que je dis est ce qui est dit en anglais ! :hum:

[chan79]

Salut
Avec 5 rennes dont 3 rennes bagarreurs (si deux parmi ces trois sont côte à côte, il y a bagarre) la disposition est forcément 10101
avec les permutations, ça fait 3!*2!=12

[ortollj]

Salut
Avec 5 rennes dont 3 rennes bagarreurs (si deux parmi ces trois sont côte à côte, il y a bagarre) la disposition est forcément 10101
avec les permutations, ça fait 3!*2!=12

oui Chan79, mais je faisais le cas ou il y a bagarre uniquement quand les p rennes sont tous ensemble.
cas un peu artificiel , je suis d'accord !. :doh:

[chan79]

oui Chan79, mais je faisais le cas ou il y a bagarre uniquement quand les p rennes sont tous ensemble.
cas un peu artificiel , je suis d'accord !. :doh:

ah d'accord !
comme ci-dessous, avec n=5 et p=3 ?
11100
ou
01110
ou
00111

[ortollj]

ah d'accord !
comme ci-dessous, avec n=5 et p=3 ?
11100
ou
01110
ou
00111

oui c'est ca, j'ai fais une erreur dans ma formule générale ?

[chan79]

11100
01110
00111
ça fait donc 3!*2!*3=6*2*3=36

[ortollj]

11100
01110
00111
ça fait donc 3!*2!*3=6*2*3=36

et donc 120 - 36 facons d'arranger les rennes

[chan79]

et donc 120 - 36 facons d'arranger les rennes

on est d'accord