Rendement constant et fonction convexe

[Malamat]

Bonjour,

Je ne comprends pas mon cours d'économie dans lequel est mentionnée deux idées qui me semblent contradictoires, mais apparemment pas.

Si nous avons une fonction de production, de type

Cette fonction est dite à rendement constant si on a :

(1)

Jusque là je comprends, puisque si on multiplie par la quantité de et la quantité de, et que cela augmente la production dans la même proportion, alors cette production est bien à rendements constants (production proportionnelle aux quantités utilisées de et).

Mais plus loin dans mon cours, on me dit que cette même fonction est à dérivée première positive et dérivée seconde négative.

(2)

Et pareil pour.

Ce qui signifie que les productivités marginales de et de sont toutes deux positives (dérivée première) mais décroissantes (dérivée seconde). On a une fonction de production croissante mais convexe : qui augmente, mais de moins en moins.

Je ne comprends pas, mathématiquement, comment ces signes des dérivées sont compatibles avec l'équation (1) qui nous dit que si on multiplie et par un deux par exemple, la fonction (ici la production) double elle aussi.

Le signe des dérivées dans (2) me fait penser au contraire que si je double la quantité de et celle de, alors va moins que doubler, en raison des productivités marginales décroissantes (dérivées secondes négatives).

Avez-vous une idée de où je fais une erreur ? :help:

Merci,
Malamat.