Résolution équation rendement annuel myoen

[elbastardo]

Bonjour,

Je souhaiterais calculer la rendement annuel moyen d'un placement avec versement annuel régulier, en fonction de ces données:
- valeur du capital à terme
- montant de l'annuité
- nombre d'annuité

Après plusieurs heures de recherche, je n'ai rien trouvée..

La formules que j'ai trouvée permet uniquement de calculer le capital final en fonction de la durée de versement, du montant des versement et du taux d'intérêt.

La voici : Vn = a.[(1+i)n-1] / i

Vn = Valeur acquise à terme
a = montant de l'annuité
n = nombre d'annuité
i = taux d'intérêt

L'idée est donc de résoudre cette équation en ayant i = [.....]
Je ne suis pas très bon dans la résolution de ce type d'équation, raison pour laquelle je sollicite votre aide.

Merci d'avance
Une belle journée à tous !

Jonathan

[Ben314]

Salut,
Je suis pas super convaincu concernant le fait que le de ta formule puisse être appelé "le rendement annuel moyen" du bidule, mais bon, c'est du vocabulaire et au fond, on s'en fout.

Donc mettons que ton problème mathématique, c'est, partant de la formule , de trouver l'expression de en fonction de , de et de .
Déjà, pour ce type de problème avec des intérêt, en math, on cherche plutôt (donc ) ce qui donne c'est à dire qui correspond à chercher la racine d'un polynôme (donc un truc "standard" pour un matheux). Sauf que dés que , il n'y a plus de méthode pour exprimer les les racines à l'aide des "fonctions élémentaires" (puissances, racines, exp, log, . . .) donc on a du mal à écrire FormuleSimple.
Mais par contre, avec n'importe quel outil numérique (calculette programmable, tableur, langage de programmation quelconque, etc...) on peut approximer très rapidement (et avec n'importe quelle précision) la valeur du (donc de ) modulo bien sûr de connaître les valeurs de , de et de . Une approche "rudimentaire" consiste par exemple à tracer la courbe de la fonction (puis de zoomer) pour approximer , et il y a des tas d'autres méthodes plus "numériques" (dichotomie, méthode des tangentes, etc...)
Si ce type de méthode numérique t’intéresse, je peut te pondre un bout de truc à mettre dans un tableur.

[chan79]

[quote="elbastardo"]

pour un gain de 20%sur 5 ans, le taux annuel moyen i vérifie:
(1+i)^5=1+20/100

(1+i)^5=1.2

i=1.2^(1/5)-1=0.0371=3.71 % par an.
Une performance de 20% sur 5 ans équivaut donc à un rendement annuel moyen de 3,71%.
en arrondissant bien-sûr

[elbastardo]

pour un gain de 20%sur 5 ans, le taux annuel moyen i vérifie:
(1+i)^5=1+20/100

(1+i)^5=1.2

i=1.2^(1/5)-1=0.0371=3.71 % par an.
Une performance de 20% sur 5 ans équivaut donc à un rendement annuel moyen de 3,71%.
en arrondissant bien-sûr

Merci pour vos réponse.

La formule que vous m'avez donner chan79 est juste, mais uniquement pour calculer le rendement moyen annualisé pour une prime unique, et donc sans versement régulier.

[elbastardo]

Salut,
Je suis pas super convaincu concernant le fait que le de ta formule puisse être appelé "le rendement annuel moyen" du bidule, mais bon, c'est du vocabulaire et au fond, on s'en fout.

Donc mettons que ton problème mathématique, c'est, partant de la formule , de trouver l'expression de en fonction de , de et de .
Déjà, pour ce type de problème avec des intérêt, en math, on cherche plutôt (donc ) ce qui donne c'est à dire qui correspond à chercher la racine d'un polynôme (donc un truc "standard" pour un matheux). Sauf que dés que , il n'y a plus de méthode pour exprimer les les racines à l'aide des "fonctions élémentaires" (puissances, racines, exp, log, . . .) donc on a du mal à écrire FormuleSimple.
Mais par contre, avec n'importe quel outil numérique (calculette programmable, tableur, langage de programmation quelconque, etc...) on peut approximer très rapidement (et avec n'importe quelle précision) la valeur du (donc de ) modulo bien sûr de connaître les valeurs de , de et de . Une approche "rudimentaire" consiste par exemple à tracer la courbe de la fonction (puis de zoomer) pour approximer , et il y a des tas d'autres méthodes plus "numériques" (dichotomie, méthode des tangentes, etc...)
Si ce type de méthode numérique t’intéresse, je peut te pondre un bout de truc à mettre dans un tableur.

Merci beaucoup Ben,

Je suis volontier preneur de la formule, le but était justement de poser la formule dans un tableur, afin de calculer la rendement de plusieurs solutions d'assurance-vie et ensuite de les comparer.

Merci infiniment pour ton aide

Jonathan

[Ben314]

https://docs.google.com/spreadsheets/d/ ... sp=sharing
Tu renseigne les trois cases en rose et ça te donne en dessous la valeur de i.
La méthode employé est celle des tangentes de Newton (un peu compliquée à expliquer, mais extrêmement rapide) qui consiste à construire une suite d'approximation de plus en plus précise (de ).
La suite d'approximation, elle est (évidement) dans la feuille de calcul : c'est les 10 cases en noir en dessous.
La 10em case donne quasiment la valeur exacte de i.
Dans une vrai feuille de calcul, ces calcul là, en général on les cache (sans intérêt pour l'utilisateur) soit en les mettant dans une autre page ne contenant que des calculs, soit en "masquant" la colonnes où ils sont.

P.S.
Attention : pour des , je peut garantir que la suite d'approximation tend (très vite) vers mais avec des valeurs de et/ou de très très grand, il est possible que de ne calculer que 10 termes soit insuffisant (ça peut rassurer d'en calculer 20, voire plus).
Par contre, pour des , là, il risque d'y avoir des soucis (il faudrait procéder de façon un peu différente pour garantir que ça marche aussi dans ce cas là)

[elbastardo]

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1qXLCs9IECg_zc3WH1xDtVo89aZ-aYj7_E6DLhYfSJuQ/edit?usp=sharing

Merci infiniment Ben tout fonctionne et j'ai pu l'appliquer à mon tableau !
Une belle journée à toi
Tout de bon !

Jonathan