DM récurrence urgent

[Lostounet]

Salut,

Je sais également que

Il serait déjà intéressant de savoir comment tu le 'sais'.
Quelle formule as-tu utilisé pour passer, par exemple, de cos(pi/4) à cos(pi/8) ?(attention tu as oublié le cos).
(Cette formule est vue en première et fait le lien entre cos(2x) et cos(x)).

Et une fois tu auras regardé ça tu pourras regarder l'hérédité de ta récurrence.

[Lostounet]

Je ne comprends pas d'où vient ta formule (si ce n'est pas de l'exercice...). J'ai l'impression que tu arnaques.


Tu as une formule qui te dit cos(2x)=... que dit-elle?

En fait il suffit de voir comment passer de cos(x) à cos(x/2)...

[Lostounet]

Ok.. du coup c'est quoi le problème pour faire ton exercice?

Déja pour n=0, la formule est vraie.

Ensuite si tu supposes que la propriété est vraie au rang n.
P(n):



Si tu poses
Tu as

Et aussi que cos(x/2) = ... en fonction de cos(x)
Il te suffit de remplacer cos(x) par son expression dans P(n)

[Lostounet]

On va démontrer la propriété par récurrence. Sais-tu ce que ça signifie?

[Lostounet]

Avant toute chose il faut que me dises c'est quoi la propriété P(n) et c'est quoi P(n+1) que l'on veut prouver.

(Je suppose que l'initialisation est ok..)

[Lostounet]

Oui mais il faut être plus précis pour P(n+1): tu as certes 2^(n+2) en bas.
Mais dans P(n), combien as-tu de racines imbriquées? Et pour P(n+1)?

Souviens toi que cos(pi/2^2)=V2/2 (une racine)
cos(pi/2^3).. combien de 'racine" ?

C'est important pour comprendre..

[Lostounet]

Supposons que
P(n):
(avec n symboles racines).

Prouvons maintenant P(n+1), ie
(avec n+1 symbole racine).

Nous savons la formule trigonométrique

Donc, comme


On applique la formule trigonométrique à cos(x/2) en ayant choisi

Donc en fait par cette formule ci-dessus:


Et maintenant tu utilises l'hypothèse de récurrence P(n) pour remplacer cos(pi/2^(n+1)) par sa valeur

[Lostounet]

Euh.. tu peux quand même faire un petit effort non?

Je t'ai donné l'idée principale. En plus je ne vois pas comment tu as fait le calcul pour cos(pi/8) si tu as du mal avec ça. C'est exactement la manipulation à faire pour trouver cos(pi/8) et cos(pi/16)

[Lostounet]

Ben c'est que j'arrive pas à récupérer le 1/2 en facteur en fait ...

Ok .. je voudrais que tu me fasses le calcul step by step de cos(pi/8).
Sachant que cos(pi/4)=V2/2.

Cos(pi/8)=cos(pi/4 *(1/2)) =V((1+cos(pi/4))/2)
=...

Cela te permettra de visualiser

[Lostounet]

[Lostounet]

D'accord, et du coup en sortant le 1/4 on a 1/2*sqrt(......) je ne me souviens plus trop de ces propriétés, a vrai dire on ne s'en sert plus trop en terminale, donc c'est bon comme ça ?

Racine(ab) = racine(a)×racine(b).

Oui! On tombe sur la bonne formule.
Du coup reprend le calcul pour P(n+1) vu que.. c'est exactement la même chose

[Lostounet]

On ne vient pas de le faire déjà avec P(n+1) ? vu que P(n) = n+1
du coup P(n+1) = n+2 non ? je dois le refaire encore ?

Euh quoi?
Tu m'as dit que tu avais du mal avec les calculs.
Donc on a fait pour le cas P(1) implique P(2) pour que tu y vois plus clair.

maitenant tu dois revenir plus haut et faire l'hérédité

[Lostounet]

Non.

On a pris un n particulier pour voir comment trouver pour le rang suivant ( on a pris n=1 donc on a regardé cos(pi/2^(1+1)) pour voir comment obtenir cos(pi/2^(3))
La rédaction de l'hérédité se fait comme suit:

Supposons que
P(n):
(avec n symboles racines).

Prouvons maintenant P(n+1), ie
(avec n+1 symbole racine).

Nous savons la formule trigonométrique

Donc, comme


On applique la formule trigonométrique à cos(x/2) en ayant choisi

Donc en fait par cette formule ci-dessus:


Et maintenant tu utilises l'hypothèse de récurrence P(n) pour remplacer cos(pi/2^(n+1)) par sa valeur

Et quand tu vas remplacer tu vas voir que le calcul est exctement le même que je t'ai fait faire dans le cas particulier... essaye

[Lostounet]

Euh.. oui
Donc.. as-tu fait le calcul ? (ça prend 2 lignes en plus ..)

[Lostounet]

Et pourquoi il y a "n+1" racines dans P(n+1) ? et seulement n dans P(n)..

D'où vient la racine "en plus"? Si tu veux prends ta feuille en photo pour la mettre sur le forum que je puisse te relire.

[Lostounet]

Sinon... je vais dormir :p

[Lostounet]

Et bien parceque à chaque fois que n augmente de 1 , on a une racine de plus qui s'ajoute non ?

Pour la photo c'est un peu compliqué car je suis sur pc et j'ai pas de cable pour raccorder mon téléphone et mon pc ( on adore les chargeurs type C )

Euh.. la racine en plus vient de la formule de cos(x/2).. tu la vois?

[Lostounet]

Bon.. on peut reprendre demain sauf si c'est pour demain :p
Goodnight