Récurrence et suites

[Phoceen]

Bonjour à tous,

j'ai un DM à faire mais je n'arrive pas à commencer un exercice, donc je viens vous demandez un petit peu d'aide. Voici l’énoncé :


Soit f la fonction définie sur par

1. On définit la suite sur par .

a. est-elle strictement croissante ; strictement décroissante ? Justifier.
b. est-elle minorée ; majorée ? Si oui, donner un minorant (resp. majorant) le plus précis possible.


2. On donne la suite sur par et .

a. Cette suite semble-t-elle majorée ; minorée ; monotone ?
b. Démontrer que, pour tout n entier naturel,
c. Déterminer le sens de varation de la suite


--------

Voilà, j'ai mis un peu de temps à l'écrire. Je ne sais même pas comment commencer... Pourriez - vous m'expliquer et m'aider ?

D'avance merci beaucoup,

Phocéen.

[messinmaisoui]

Hello Phoceen

Soit f la fonction définie sur par

1. On définit la suite sur par .

a. est-elle strictement croissante ; strictement décroissante ? Justifier.

Pour le début ... (la suite sans jeu de mots c'est plus lointain dans mes souvenirs)

Essayons de démonter que U(n) est croissante
Soit le 1er terme U(0) = -3
calculons U(n+1) - U(n) et montrons que pour n > 0
cette différence : (? + 2) (? - 1)est toujours positive ...

[Phoceen]

Bonjour messinmaisoui,

donc alors si je fais



C'est ça ?

Dois-je développer la puissance 3 ?

[messinmaisoui]

Oui ça va disparaitre dans la suite des calculs ...

[Phoceen]

Oui ça va disparaitre dans la suite des calculs ...

Je trouve quelque chose qui me semble assez bizarre voici :






Je suppose que j'ai faux, non ?

[messinmaisoui]

Partie -Un je pense qu'il y a une faute là ...
-Un = -(n³ +n -3)
= -n³ -n +3

[Phoceen]

Partie -Un je pense qu'il y a une faute là ...
-Un = -(n³ +n -3)
= -n³ -n +3

J’obtiens donc :





C'est ça ?

Si oui, on aurait un un polynome de second degrés. Je devrais faire quoi maintenant ?

[messinmaisoui]

+2 à la fin je crois ...

sinon le delta est négatif donc on ne peut pas trouver de valeur de n annulant
3n² +3n +2 et donc comme 3n² +3n +2 > 0 pour n > 0
la différence entre Un+1 et Un est positive donc la suite est croissante ...

Ok ?

[Phoceen]

+2 à la fin je crois ...

sinon le delta est négatif donc on ne peut pas trouver de valeur de n annulant
3n² +3n +2 et donc comme 3n² +3n +2 > 0 pour n > 0
la différence entre Un+1 et Un est positive donc la suite est croissante ...

Ok ?

Je ne comprends pas vraiment comment on le justifie.

Delta est négatif ça c'est ok. Mais après je comprends plus trop...

[messinmaisoui]

Je ne comprends pas vraiment comment on le justifie.

Delta est négatif ça c'est ok. Mais après je comprends plus trop...

En fait pour faire simple ...
sachant que les valeurs de n sont positives
3n² > 0, 3n > 0 et la somme de 3n² +3n +2 sera toujours > 0
donc on aura toujours une différence + entre Un et Un+1 !

[Phoceen]

Bonsoir, désolé pour le retard problème de connection...

Donc c'est OK pour la 1.a. Merci !

Par contre, pour la 1.b je ne connais pas c'est quoi le minorant majoré etc... pourriez - vous m'expliquer ce que je dois faire ?

D'avance merci !

[Phoceen]

Quelqu'un pour m'aider ? :)

D'avance merci beaucoup !

[messinmaisoui]

Hello Phoceen;

b. est-elle minorée ; majorée ? Si oui, donner un minorant (resp. majorant) le plus précis possible.


Je crois que l'on peut affirmer (partie des propriétés d'une suite):

- Une suite croissante u est minorée par son premier terme u0.
- Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u0.

[Phoceen]

Hello Phoceen;

b. est-elle minorée ; majorée ? Si oui, donner un minorant (resp. majorant) le plus précis possible.


Je crois que l'on peut affirmer (partie des propriétés d'une suite):

- Une suite croissante u est minorée par son premier terme u0.
- Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u0.

Bonjour messinmaisoui,

merci de votre réponse.

Dans mon cours en fait j'ai ça :

La suite est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout entier n, UN m



Je pense qu eça rejoint un peu ce que vous m'avez dit. Mais alors du coup je suis censé faire quoi, je vois pas vraiment ce que je dois faire ^^

[messinmaisoui]

Hello Phoceen;

b. est-elle minorée ; majorée ? Si oui, donner un minorant (resp. majorant) le plus précis possible.


Je crois que l'on peut affirmer (partie des propriétés d'une suite):

- Une suite croissante u est minorée par son premier terme u0.
- Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u0.

Pour ma part je dirais que :
La suite est croissante donc minorée par u(0) = -3
elle n'est pas majorée car elle est croissante

[Phoceen]

Pour ma part je dirais que :
La suite est croissante donc minorée par u(0) = -3
elle n'est pas majorée car elle est croissante

Il n'y aurait donc pas de calculs à faire ?

On va chercher loin alors qu'il n'y a pas grand chose à faire défois.

Alors pour la 2.a, on doit faire quoi ?

[messinmaisoui]

Il n'y aurait donc pas de calculs à faire ?

On va chercher loin alors qu'il n'y a pas grand chose à faire défois.

Alors pour la 2.a, on doit faire quoi ?

Sous réserve, mieux vaut être méfiant en Math,
voir humble dans ses affirmations :dodo:

Alors pour la 2.a il faut essayer de voir / calculer ce que donne V(0), V(1) ...
pour se faire une idée ...
V(0) =1
V(1) = ?
V(2) = ?

[Phoceen]

Donc on a

soit

V0 = 1 alors :


soit


Vous êtes d'accord ? Donc je dois faire quoi maintenant ?

[messinmaisoui]

Ok j'aurais bien dit de procéder comme Un et faire
V(n+1) - V(n)
mais cela donne V(n+1) - V(n) = (Vn)³ - 3 qui devrait être négatif
compte tenu de V(1) - V(0) = -1-1, V(2) - V(1) = -5+1 ... qui le sont
mais je ne pense pas que l'on puisse l'affirmer de cette manière !

D'autres forumeurs auront sans doute des idées précises là-dessus :hein: