Récurrence et suites

[grenouillesavante]

Bonjour à tous , j'ai besoin d'aide pour faire cet exercice j'espère que quelqu'un pourra m'aider :) PS: j'ai réussi la question 1)

On considère la suite (Un) définie par :

U1=3/2
Un+1=1/2(Un+(2/Un)) pour tout n appartient N*

1) Montrer que pour tout n appartient , Un>0

2) Montrer que pour tout n appartient N*, Un+1-racine de 2=1/2(Un-racine de 2)² / Un
En déduire que, pour tout entier n> ou égale à 1, Un> ou égale à racine de 2

3) Etudier le sens de variation de la suite (Un). En déduire qu'elle est convergente

4) Montrer que pour tout n appartient N, Un+1- racine de 2=1/2(Un-racine de 2)+(1/Un)-1/racine de 2
En déduire que pour tout n appartient N*, Un-racinde de2 < 1/2^n (faire une démonstration par récurrence).

5) Déterminer alors la limite de la suite (Un)

Merci d'avance.

[la-gueudine]

Tu veux pas te servir de ce super truc qui s'appelle le langage LaTeX pour taper tes formules, j'avoue que c'est un peu dur à déchiffrer la donc dur de t'aider

[Sylviel]

2) développe le terme de droite, simplifie et reconnait l'expression de Un+1.
Tu as vu que Un est positif, donc le calcul te permet de conclure cette question

3) écrit Un+1-Un, dont, en utilisant la question 2) tu dois pouvoir déterminer le signe.

4) a partir de l'expression de Un+1-\sqrt{2}, en développant un des termes du dénominateur tu peux aboutir à l'expression voulue. De là la recurrence devrait être simple

5) la conclusion est évidente

P.S : +1 pour TEX, c'est pas compliqué à comprendre et vraiment plus pratique...

[grenouillesavante]

merci sylviel mais pour la question 2) il faut juste dire que un>0 ?

[grenouillesavante]

Quelqu'un peut-il m'aider ?