Récurrence exo ensembles

[Darkwolftech]

Salut à tous,

Pendant les vacances, j'essaie de faire des exos un peu sympas et différents du lycée (pour changer :ptdr: ). J'ai trouvé un exo assez sympa sur le principe de récurrence, mais je ne suis pas très aguerri là-dessus, du coup je sollicite votre aide pour la rédaction. Voila l'exo :

Soit une partie de telle que :
(i) et (ii)
Prouver que

Alors ce que j'ai fait :

1/ Je prouve par récurrence que :
C'est vrai au rang 1, car comme , alors
Supposons la proposition suivante vraie pour un certain entier :

Alors par la propriété (i),
Par récurrence on peut conclure que .

Pour prouver que , j'avais pensé à dire en gros que pour tout , on peut trouver un tel que et qu'au final grâce à (ii) on pouvait conclure que .

Est-ce que c'est correct ? Ca me semble pas super rigoureux, dit comme ça ...

Merci beaucoup,
Lucas

[chan79]

salut
Tu pourrais chercher dans cette direction:
P(n) : tout entier (non nul) inférieur ou égal à 2n est élément de A.
Si P(n) est vrai, alors n+1 est élément de A ainsi que 2n+2 et 2n+1 donc P(n+1) est vrai

[Ben314]

Sinon, si ça t'amuse, j'en ai un autre quasi pareil :

Soit une partie non vide de telle que :



A-t-on forcément ?

[beagle]

Sinon, si ça t'amuse, j'en ai un autre quasi pareil :

Soit une partie non vide de telle que :



A-t-on forcément ?

Seule la sainte trinité peut s'y opposer, non?

[paquito]

Seule la sainte trinité peut s'y opposer, non?

Soit n0 le plus petit élément de A, n0 est nécessairement impair donc, on ne peut qu'envisager 3n0+1= n1 qui est pair et fournit n2=(3n0+1)/2 si n2 est encore pair on aboutit à (3no+1)/4, ce qui implique n0=1 et l'on peut prendre A={1, 2,4, ...}mais on ne peut plus retrouver que 4 ou des nombres impairs, donc il y'a un problème puisqu'il est nécessaire que n0=1.

Toute ressemblance avec la suite de syracuse ne serait que pure coïncidence... :we:
J'ai répondu trop vite, je rectifie!

[beagle]

OK, hier soir j'avais le trivial suivant:
Je ne sélectionne pas dans mon ensemble de multiples de 3.
n, et 3n+1 ne seront pas multiples de 3.
Et 2n non multilple de 3 ne pourra pas donner un n multiple de 3 non plus.

[Ben314]

OK, hier soir j'avais le trivial suivant:
Je ne sélectionne pas dans mon ensemble de multiples de 3.
n, et 3n+1 ne seront pas multiples de 3.
Et 2n non multilple de 3 ne pourra pas donner un n multiple de 3 non plus.

C'est bien ça : A n'est pas forcément égal à N...

[Darkwolftech]

Ok , merci à tous pour vos réponses j'ai rédigé mon truc comme il faut :lol2:
Sinon merci Ben pour ton exo, j'avais trouvé la même chose mais j'ai pas été assez rapide ... Beagle était sur le coup ! :ptdr:

[beagle]

Ok , merci à tous pour vos réponses j'ai rédigé mon truc comme il faut :lol2:
Sinon merci Ben pour ton exo, j'avais trouvé la même chose mais j'ai pas été assez rapide ... Beagle était sur le coup ! :ptdr:

salut Darkwolftech,
ouais je sais, je t'ai piqué ton jouet offert par Ben314.c'est pas bien!
Mais j'ai trouvé cela marrant comme exo.
a la base il n' y a rien, ou très peu,
n, 2n et 3n+1
c'est vraiment pas grand chose,
et pourtant je suis déjà en difficultés pour comprendre à quoi on joue,
comment ça bouge si ceci cela.
Alors j'ai voulu jouer avec.
mais j'ai pas donné de solution directe, je t'ai laissé trouver.
c'est le lendemain quand l'ami Paquito a mis sa solution,
que j'ai mis ce sur quoi j'étais tombé.
Donc merci à toi et Ben314 pour cet exo!

[paquito]

J'ai dû oublier de poster ma réponse; il est clair que si on prend 1 (obligé), on prend aussi 4 puis 2,
mais avec ces générateurs de A, peut on obtenir ; la réponse est négative; en effet 3 ne peut résulter d'une opération 3n+1, donc son apparition ne peut résulter que d'une suite de division par 2; en d'autres termes, il faudrait que 3x2^k, k>0 apparaisse suite à une opérartion n->3n+1, n élément de A, ce qui implique n impair, soit 3x(2n'+1)+1=3x2^k; mais , alors que ; donc 3 n'apparaîtra jamais!

PS: si on étudie un peu la suite de Syracuse en binaire en partant de n impair (le cas n pair finissant par n' impair ou étant de la forme 2^k, donc sans intérêt), on se rend compte par exemple que n'apparaîtra jamais et il y a aussi d'autres impossibilités.