Récurrence - arithmétique

par **Dinozzo13** » 25 Oct 2009, 00:10

Bonjour, je dois démontrer que

est divisible par

. Ca je pense savoir faire, mais j'ai des doutes pour le démontrer autrement, j'aimerai donc savoir si cela correspond bien, merci d'avance :we: .

Si

alors

, la propriété est vérifiée. Supposons que

est divisible par

. Montrons qu'alors

est divisible par

. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe un entier naturel q tel que

d'où

. Par conséquent :

en posant

.
donc

est divisible par

. La propriété est donc vraie pour tout

.

Autre idée :

Pour tout

naturel :

d'où

donc

est divisible par

pour tout

naturel.

par **dudumath** » 25 Oct 2009, 00:35

la 2nde solution est plus élégante, je la préfère personnellement

par **Dinozzo13** » 25 Oct 2009, 00:36

pareil, donc elle est juste ?

par **oscar** » 25 Oct 2009, 08:37

BONJOUR

Autre méthode
5^2n - 2^n = 25^n -2^n divisible par (25-2) = 23
Formule de Newton : a^n- b^n divisible par ( a-b)

par **benekire2** » 25 Oct 2009, 09:42

La deuxième est certes plus élégante et facile, mais dans la première tu as le mérite d'y parvenir.

par **Timothé Lefebvre** » 25 Oct 2009, 09:44

Salut,

+1 Oscar : le binôme de Newton, étudié en TS me semble le plus simple pour conclure.

par **Dinozzo13** » 25 Oct 2009, 11:10

ouais mais je ne l'ai pas encore vu donc je me contente de ça ^^

Récurrence - arithmétique

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