Spé maths: récurrence et arithmétique

[Ellanaa]

Voilà, bonjour à tous!
J'ai un DM pour jeudi et ça me stresse bcp, je suis bloquée sur pas mal de questions ... Si qqn pouvait m'aider, ce serait génial, pcq j'vois pas du tout comment me lancer dans mes calculs.

1. Soit N un entier naturel, impair et non premier.
On suppose que N=a²-b² où a et b sont deux entiers naturels.
a. Montrer que a et b n'ont pas la meme parité à l'aide d'un raisonnement par l'absurde.
b. Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.
c. Quelle est la parité de p et de q ?

2. Pour tout n qui appartient à N*, Sn= E n p=1 p3 (c'est une somme, le n est au dessous et p=1 en dessous)
Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout n > 0 Sn=(1+2+3+...+n)²

3. On pose a=3n+5 et b=5n+8, n appartient à N.
Trouver deux coeff entiers u et v indépendants de n, vérifiant au+bv=1.

4. a. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel non nul, 56n+1 + 23n+1 est divisible par 7.
b. Justifier que pour tout n qui appartient à N*, 56n+1 + 23n+1 n'est pas toujours divisible par 5.

Merci d'avance :++:

[girdav]

Bonjour. Un nombre a la même parité que son carré.
Ca devrait te servir pour la question .

[Ellanaa]

Merci, je pensais que c'était plus compliqué, en fait j'y suis arrivée :) Par contre, les autres questions ...
Merci bcp en tt cas!

[girdav]

Dans la suite de la question tu peux factoriser.

[Ellanaa]

Je m'en suis finalement sortie :) Par contre, je ne comprends pas du tout la question 3 :/