Raisonnement par recurence

[artiko20]

Bonjour j ai quelques difficulté sur une partie de l exercice
"Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1,4x-0,05x²"

1c) "montrer que si x appartient a l intervalle [0;8] alors f(x) appartient a l intervalle [8;14]"

est ce qu'il suffit de marquer que si 0;)x ;)8 alors f(0);)f(x);)f(8) et on les calcule et sa me donne 0;)f(x);)8

"on considère la suite u définie par u0=6 et pour tout entier naturel n: u n+1=f(un)"

2b)"montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
0;)un;)u n+1;)8 "


pour l initialisation il n y a pas de problème mais la ou je coince c est pour l hérédité je ne sais pas comment faire

2c)"en déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite"


pour déduire qu'elle est convergente on se sert du théorème des suites majorée ou minorée
mais pour la limite après l avoir calculé je trouve 0 et 8 mais laquelle des deux est la limite

merci d avance

[titine]

Bonjour j ai quelques difficulté sur une partie de l exercice
"Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1,4x-0,05x²"

1c) "montrer que si x appartient a l intervalle [0;8] alors f(x) appartient a l intervalle [8;14]"

est ce qu'il suffit de marquer que si 0;)x 8 alors f(0);)f(x);)f(8) et on les calcule et sa me donne 0;)f(x);)8

On ne peu passer de 0 <= x <= 8 à f(0) <= f(x) <= f(8) que si f est CROISSANTE sur [0 ; 8]
Est ce le cas ? L'as tu démontré ?

[artiko20]

On ne peu passer de 0 <= x <= 8 à f(0) <= f(x) <= f(8) que si f est CROISSANTE sur [0 ; 8]
Est ce le cas ? L'as tu démontré ?

oui je l ai deja montré avec un tableau de variatio dans une question precedente

[Ben314]

...il suffit de marquer que si 0;)x 8 alors f(0);)f(x);)f(8)...

ça, c'est en général faux.
Si f est croissante sur [0,8], ça va être vrai.
Si f est décroissante sur [0,8] alors c'est f(8);)f(x);)f(0)
Si elle n'est ni croissante ni décroissante sur [0,8] alors on ne eut rien conclure concernant l'ordre dans lesquels sont f(0), f(x) et f(8) : Par exemple, si f(x)=(x-2)^2 alors f(0)=4, f(8)=36 et, bien que 1 soit entre 0 et 8, f(1)=1 n'est pas entre 4 et 36.

[artiko20]

oui je l ai deja montré avec un tableau de variatio dans une question precedente

mais apres pour l heredité je ne m essort pas du tout

[titine]

On suppose que 0 <= U(n) <= U(n+1) <= 8
Comme f est croissante :
f(0) <= f(U(n) <= f(U(n+1)) <= 8
C'est à dire f(0) <= U(n+1) <= U(n+1) <= f(8)
Donc 0 <= U(n+1) <= U(n+2) <= 8
Ce que l'on voulait démontrer.

[artiko20]

On suppose que 0 <= U(n) <= U(n+1) <= 8
Comme f est croissante :
f(0) <= f(U(n) <= f(U(n+1)) <= 8
C'est à dire f(0) <= U(n+1) <= U(n+1) <= f(8)
Donc 0 <= U(n+1) <= U(n+2) <= 8
Ce que l'on voulait démontrer.

ok merci c etait assez simple en y reflechissant par contre pour trancher entre les deux limites 0 et 8 je dis comme elle est croissante et majore par 8 alors la limite c est 8

[artiko20]

ok merci c etait assez simple en y reflechissant par contre pour trancher entre les deux limites 0 et 8 je dis comme elle est croissante et majore par 8 alors la limite c est 8

mais je suis pas sur

[titine]

En effet elle est croissante et majorée par 8 donc elle est convergente.
En résolvant f(l) = l on trouve bien 2 solutions 0 et 8 mais comme la suite est croissante et minorée par 0 la limite ne peut pas être 0.

[artiko20]

ok merci beaucoup