Raisonnement par recurence

par **sheik** » 08 Mar 2010, 17:36

bonjour

est ce que quelqu'un peut maider a faire ca

démontrer que pour tout réel positif a et tout naturel n on a (1+a)^n supérieur ou égal 1+na

est ce que vous pouvez m'expliquer comment on fai aussi par ce que je rien compri de ce que on a fait en cour

par **oscar** » 08 Mar 2010, 17:59

On applique la formule de Newton

( a + b) ^ n = a^ n + a ^(n-1) .b + a ^( n-2) * b^2+...........a^0* b^ n

( 1+a)^ n = 1 ^ n + 1^ 2* a ^ (n-1) +............1 ^ 0* a^ n>= 1 + a ^ n

par **Ericovitchi** » 08 Mar 2010, 18:09

ou par récurrence (puisque c'est le titre).

tu vérifies que c'est vrai pour n=1
tu supposes que c'est vrai pour n
tu vérifies que c'est encore vrai pour n+1
(en écrivant

, etc.... )

par **sheik** » 08 Mar 2010, 18:23

est ce que tu peu m'expliqué un peu plus en detaille .

par **Ericovitchi** » 08 Mar 2010, 18:38

c'est simple quand même la solution par récurrence. tu n'as plus qu'à montrer que (1+na)(1+a) > (1+ (n+1)a)

tu ne connais pas du tout le principe du raisonnement par récurrence ?

par **sheik** » 08 Mar 2010, 18:56

wai je conais pas du tout . Pasque on a pas fai se cour ni d'exo de sut notre prof nous a juste montrer un exemple .

par **Sylviel** » 08 Mar 2010, 19:05

Ce serait sympa que tu fasses un effort sur l'orthographe quand même... Pour la récurrence ça se passe ainsi
Soit (Pn) une proposition que tu veux démontrer.
Exemple : "le nombre 2*n est positif"

Tout d'abord il faut initialiser la récurrence :
Montrons P0
Exemple 2*0=0 est positif.

Ensuite tu montes que si tu sais faire l'étape n tu sais passer à la suivante :
il faut montrer que Pn=>Pn+1. Pour cela tu supposes que Pn est vraie et tu démontres Pn+1
Exemple : Supposons Pn : 2n>=0. montrons que 2*(n+1)>=0
2*(n+1)=2*n+2 or 2*n>=0 (par hypothèse de récurrence) et 2>0 donc 2*(n+1) est positif.

Conclusion la proposition est vraie pour tout entier n !

Schématiquement : tu veux gravir un escalier gigantesque, la première étape te pose sur la première marche la seconde te permet de passer d'une marche (quelconque nommée n) à la suivante, comme cela tu sais aller aussi loin que tu veux !

par **sheik** » 08 Mar 2010, 19:40

voila ce que je pense avoir comprit
démontrons que P(1) est vrai
(1+a)^1 supérieur ou égal à 1+1a
1+a " " " " " 1+a

supposons que P(n) est vrai
alors (1+a)^n supérieur ou = à 1+na
(1+a)^n*(1+a) sup ou = 1+(1+a)a
(1+a)^n+1 sup ou = 1+2a
est ce que je suis sur le bon chemin ?

par **Sylviel** » 08 Mar 2010, 20:06

Je crois que tu n'as pas vraiment utilisé l'hypothèse...

par **sheik** » 08 Mar 2010, 20:14

c'est a dire

Raisonnement par recurence

raisonnement par recurence

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