Raisonnement grand oral de maths

[raptor6900]

Bonjour,
Je fais mon grand oral de maths sur les équations différentielles et j'aimerais savoir si mon raisonnement pour connaitre les solutions d'une équation différentielle est juste. Merci d'avance.
Voilà mon raisonnement :
Soit l'équation différentielle y'=ay. Supposons que y≠0.
On a alors: y'/y=a
En primitivant: ln(y)+b=ax+c ; (b;c) ∈ R**2

Donc y(x)=e**(ax+c-b)
=e**(c-b)*e**(ax)
c et b sont des constantes donc e**(c-b) est égale à une constante C donc y(x)=Ce**(ax)

On remarque le seul moyen pour que y=0 est que C=0 car la fonction exponentielle est strictement supérieure à 0 sur R. Or 0'=0=a*0 donc y(x)=0e**(ax)=0 est solution de l'équation différentielle.

Donc les solutions de y'=ay sont les fonctions y(x)=Ce**(ax)

[Rdvn]

Bonjour
Votre demande date de 5 jours , êtes vous toujours en demande d'aide ?

[raptor6900]

Bonjour,
Oui je suis toujours intéressé s'il vous plaît.
Merci

[Rdvn]

Bonjour
Je reprends votre première partie
(je suppose que vous avez déjà présenté ce qu'est une équation différentielle)

Soit l'équation différentielle y ' = a y ( a réel non nul)
Supposons que y soit solution de cette équation différentielle , y étant une fonction strictement positive sur R
On a donc y ' / y = a
d'où , pour tout x réel , ln( y(x) ) = ax+b , b réel arbitraire ,
et donc y(x) = e^(ax+b) =e^b.e^(ax) =Ce^(ax)

Jusqu'à présent on a juste supposé que y est une solution de l'équation différentielle y ' = a y
Il s'agit donc de le vérifier lorsque y est définie par y(x) = C.e^(ax) :
pour tout x réel y '(x) = C.a.e^(ax) = a.y(x), donc y définie par y(x) = C.e^(ax) est bien une solution de l'équation différentielle y ' = a y

Il s'agit ensuite de déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y ' = a y :
à toute fonction y définie et dérivable sur R on peut associer une fonction z définie par z(x) = y(x) / e^(ax)
z est définie et dérivable sur R ( ? détailler un peu plus ?) dès lors y(x) = z(x).e^(ax)
A vous à présent : calculez y '(x)
(puis on verra...)

[Rdvn]

@ raptor6900
Si il vous faut d'autres indications ne tardez pas car je serai totalement indisponible ce week-end
(ou qu'un autre membre du forum prenne la suite si il est disponible ...)

[Rdvn]

@ raptor6900
Aujourd'hui je peux vous répondre au besoin : le sujet est il clos ou faut il y revenir ?