Racines évidentes ...

par **joliecoeur** » 02 Oct 2009, 18:38

Bonjour! :happy2:

J'ai un exo sur le quel je broque vraiment :s
:
On entend, en général, par racine évidente d'un polynôme P, un nombre entier

pas trop grand tel que P(

) = 0.

1. Trouver une racine évidente de chaque polynôme suivant :
a) x² + 2x - 3
racine évidente ==> 1
b) x^3 + x² +2x
racine évidente ==> 0
c) x^4 + 2x^3 -2x -1
racine évidente ==> ??

2. Dans cette question, on propose une méthode qui permet de trouver les racines évidentes dans le cas de polynômes à coefficients entiers.
Soit un tel polynôme :

avec ai entier pour tout i et

0.
a) supposons qu'un nombre entier

soit une racine de P. Montrer alors qu'il existe un entier k tel que

=

k.

En conclusion, si P a des racines entières, ces racines sont des diviseurs, positifs ou négatifs de a0.

Bon alors là je bloque completement! :mur:
Je mettrais la suite de l'exercice plus tard, (si je n'y suis toujours pas arrivé,) j'aimerais déjà comprendre ça.
Merci d'avance pour votre aide.
A bientôt =)

par **Florélianne** » 02 Oct 2009, 18:49

Bonsoir,
c) x^4 + 2x^3 -2x -1
racine évidente ==> ??
si x= 1 ?courage ! un peu de repos et de sommeil, ça éclaircit les idéesdéveloppe le produit (x-a) (anx^n-1 +...+a0)tu comprendras pourquoi...

par **joliecoeur** » 02 Oct 2009, 19:02

Florélianne a écrit:Bonsoir,
c) x^4 + 2x^3 -2x -1
racine évidente ==> ??
si x= 1 ?courage ! un peu de repos et de sommeil, ça éclaircit les idéesdéveloppe le produit (x-a) (anx^n-1 +...+a0)tu comprendras pourquoi...

pff, je suis trop bête ><
merci
je vais suivre ton conseil pour le sommeil! ^^

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 11:54

ReBonjour
Je suis toujours bloquée sur cet exo ... :s
bon j'ai petit c) maintenant.
Et dans le 2., j'ai trouvé que

mais ensuite je ne vois pas comment montrer que

k

Qu'elqu'un pourrait m'aider SVP ?
Merci d'avance

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2009, 12:29

s'écrit aussi

(

) est un nombre entier puisque les coefs du polynôme sont entiers et que

aussi donc c'est de la forme k

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 12:46

Ok!
Merci :we:

Et donc ensuite j'ai des polynômes à résoudre ( par exemple :

)
Pour trouver toutes les racines je dois trouver tous les diviseurs de

( donc dans l'exemple, les diviseurs de -4 ????? )

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2009, 12:52

oui ça veut dire que pour trouver une racine entière il faut essayer 1,-1,2,-2,4,-4 et que ça n'est pas la peine d'en essayer d'autres.

on peut même se restreindre encore en divisant tout par 2. les racines ne peuvent être que 1, -1, 2 ou -2

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 13:19

Ok! Merci j'ai compris :we:

Et pour la rédaction si je mets :

" Les diviseurs de -4 sont : 1, -1, 2 ou -2
donc les racines de P(x) =

sont 1, -1,2 et -2. "

C'est bon ?

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2009, 13:20

non pas du tout. Ce sont des racines à essayer mais personne n'a dit qu'elles étaient toutes bonnes.

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 13:45

Je dois essayer avec chacune d'entre elles pour prouver les quelles sont bonnes ?

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2009, 13:48

oui et en l'occurrence il n'y en a que 2 qui marchent

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 15:39

Et pour répondre à la question
" indiquer alors commet trouver les racines évidentes d'un polynôme à coefficients entiers (avec

différent de 0) "
Je dois mettre quoi ? :hein:

Merci pour votre aide.

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2009, 15:41

si tu as vraiment compris ton exercice, ça devrait couler de source pour toi

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 15:45

Ben moi je mettrais :
Pour trouver les racines évidentes d'un polynôme à coefficients entiers, on doit trouver les diviseurs de a_0 qui vérifient P(a)=0.

par **joliecoeur** » 03 Oct 2009, 16:35

C'es bon ?

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