Polynôme racines évidentes (avec cube)

[Alixplr]

Bonjour,
dans un exercice j'ai dû montrer que x vérifiait l'équation x³-24x+40=0 (appelons la équation 1)
J'ai réussi mais maintenant je dois en déduire que x vérifie l'équation 2 : (x-2)(x²+2x-20) = 0. (Équation 2)
Je sais que je dois me servir des racines évidentes mais je ne sais pas comment car x est au cube.
J'ai développé l'équation 2 et j'ai obtenu l'équation 1 mais en faisant cela je ne réponds pas correctement à la question (je dois partir de 1 pour arriver à 2 et pas l'inverse)
Merci de votre aide

[qaterio]

Bonjour, développe l'équation 2 pour commencer, et tu t'apercevra de quelque chose.

[qaterio]

Je t'ai dit de développer car je ne connaît pas ta valeur de x, sinon tu aurai simplement du remplacer x par sa valeur dans (2) et montrer que cela vaut bien 0.

[Alixplr]

x est compris entre 0 et 4 mais est différent de 2 donc je ne connais pas sa valeur non plus.
J'ai développé (2) et j'obtiens l'équation (1) mais je ne pense pas répondre à la question ainsi, je pense qu'il faut que je parte de (1) pour arriver à (2) puisqu'on me demande de déduire

[qaterio]

l'équation (1) est la même que l'équation (2) donc si (2) vaut 0, (1) vaut également 0, et si (2) vaut zéro alors (x-2)=0 ou x^2+2x-20=0, tu résout ces équations et tu retiens les valeurs de x comprises entre 0 et 4 pour ton résultat.

[Lostounet]

Bonjour,
dans un exercice j'ai dû montrer que x vérifiait l'équation x³-24x+40=0 (appelons la équation 1)
J'ai réussi mais maintenant je dois en déduire que x vérifie l'équation 2 : (x-2)(x²+2x-20) = 0. (Équation 2)
Je sais que je dois me servir des racines évidentes mais je ne sais pas comment car x est au cube.
J'ai développé l'équation 2 et j'ai obtenu l'équation 1 mais en faisant cela je ne réponds pas correctement à la question (je dois partir de 1 pour arriver à 2 et pas l'inverse)
Merci de votre aide

Salut,
La méthode classique consiste à trouver une racine évidente au polynôme (ayant 1 comme coefficient dominant) parmi les diviseurs du terme constant, qui est 40.
Donc il faut essayer de trouver une racine évidente parmi les diviseurs de 40.

Heureusement, on constate que x = 2 est racine évidente, donc on peut factoriser par (x - 2)(ax^2 + bx + c) = 0 et s'en sortir par identification de a b et c.

Cela revient pratiquement à faire: x³-24x+40= x^2(x - 2) + 2x^2 - 24x + 40
= x^2(x -2) + 2x(x - 2) + 4x - 24x + 40 = x^2(x - 2) + 2x(x - 2) - 20(x - 2)

qui se factorise par (x - 2) [x^2 + 2x - 20]
Ce n'est autre qu'une division euclidienne polynomiale.

[Alixplr]

Merci pour vos réponses
Lostounet j'aimerais savoir, comment sait on qu'une racine est évidente ? (Ici x=2)
Sinon j'ai bien compris, merci beaucoup

[Lostounet]

En remplaçant x par 2 non?
Après il faut essayer plusieurs racines évidentes (x=1 ou autre diviseur de 40).

On tombe sur le 2 par chance.

[Alixplr]

D'accord, merci beaucoup.