Questions de cours sur les limites

[Anonyme]

Bonsoir,

J'aimerais poser quelques questions sur les limites. (d'une fonction/application)
1/ Comment démontre-t-on les limites des fonctions usuelles algébriquement ?
2/ La définition d'une limite telle quelle est abordée en prépa (avec les voisinages, les petits epsilon...) est elle souvent usitée ? Si oui dans quels cas ? Vaut-il mieux marcher "à l'intuition" ? Est elle toujours possible même si elle peut être plus fastidieuse à mettre en oeuvre ?
Merci d'avance de votre aide.
Titux

[benekire2]

Bonsoir,

J'aimerais poser quelques questions sur les limites. (d'une fonction/application)
1/ Comment démontre-t-on les limites des fonctions usuelles algébriquement ?
2/ La définition d'une limite telle quelle est abordée en prépa (avec les voisinages, les petits epsilon...) est elle souvent usitée ? Si oui dans quels cas ? Vaut-il mieux marcher "à l'intuition" ? Est elle toujours possible même si elle peut être plus fastidieuse à mettre en oeuvre ?
Merci d'avance de votre aide.
Titux

Pour la première question :

On utilise les définitions formelles. Celles avec les epsilon et tout et tout ...

Pour ta deuxième question : Oui dans tous tes exos sur les limites , tu pourrait t'amuser à remplacer tout tes trucs intuitifs par des calculs super rigoureux ... et super chiants !!

Bref, tu es au lycée ? Oui, donc étudie une limite comme tu le sens ..

[Anonyme]

Par exemple comment démontrer que lim x²= +inf ?
x-->+inf

[benekire2]

Ben déjà la définition de la limite infinie en l'infini c'est :



A partir de là tu prend m=racine M et tu applique la définition ...

Bien sur faut avoir prouver la croissance de f(x)=x² sur R+ avant !!

EDIT ( en fait ça fait 4 fois que j'édite ... ) :

Pour le prouver, rien de plus simple :
en partant de 0<a<b

étudions a²-b²=(a-b)(a+b) or a+b positif ( deux positifs) et a-b négatif, d'après notre hypothèse.

+*-=- donc a²-b²<0 ie a²<b²

La fonction carré est donc strictement croissante sur R+

[Nightmare]

2/ La définition d'une limite telle quelle est abordée en prépa (avec les voisinages, les petits epsilon...) est elle souvent usitée ? Si oui dans quels cas ? Vaut-il mieux marcher "à l'intuition" ? Est elle toujours possible même si elle peut être plus fastidieuse à mettre en oeuvre ?
Merci d'avance de votre aide.
Titux

Salut,

pour parler de quelque chose en maths il faut le définir de toute façon. Lorsqu'on veut juste faire du calcul de limite sur une fonction assez simple, comme ce qu'on fait au lycée, c'est sûr qu'on ne va pas charger les élèves avec des définitions formelles lorsque l'intuition permet parfaitement de comprendre et de démontrer (car on donne quand même une définition de la limite au lycée, qui est la même que celle qu'on donne dans le supérieur, sauf qu'on a remplacé les quantificateurs par des mots).

Par contre, dès qu'on sort du cadre du calcul redondant et qu'on a besoin de travailler sur la limite d'une fonction définie de manière un peu abstraite, on a forcément besoin de mettre une définition sur le mot "limite" sans quoi on ne pourrait pas travailler avec cette notion.

[benekire2]

Salut,

pour parler de quelque chose en maths il faut le définir de toute façon. Lorsqu'on veut juste faire du calcul de limite sur une fonction assez simple, comme ce qu'on fait au lycée, c'est sûr qu'on ne va pas charger les élèves avec des définitions formelles lorsque l'intuition permet parfaitement de comprendre et de démontrer (car on donne quand même une définition de la limite au lycée, qui est la même que celle qu'on donne dans le supérieur, sauf qu'on a remplacé les quantificateurs par des mots).

Par contre, dès qu'on sort du cadre du calcul redondant et qu'on a besoin de travailler sur la limite d'une fonction définie de manière un peu abstraite, on a forcément besoin de mettre une définition sur le mot "limite" sans quoi on ne pourrait pas travailler avec cette notion.

Faut quand même avouer que ces définitions sont passés sous silence au lycée :ptdr:

[Nightmare]

Oui et non, lorsqu'on dit au lycée qu'une fonction f tend vers +oo en +oo lorsque "f(x) est aussi grand que l'on veut pourvu que x soit assez grand", on ne fait qu'écrire la définition formelle sans symboles.