Question sur les tetraèdre

[Bertrand Hamant]

Bonjour

J'ai une petite question, on me dit que ABCD est un tétraèdre régulier.

Démontrer que DA.BC+ DB.CA+DC.AB = 0

Ainsi DA.(BD+DC) + DB(CD+DA) + DC(AD+DB)

ce qui me donne DA(BD+DB) + DB(CD+DC) + DA(DC-CD)

soit DA(BB) + DB(CC) + DA(DD) = 0 car DD = BB = CC = 0

est ce correcte ?

[Bertrand Hamant]

Ensuite ils me disent que ABCD est un tétraèdre. A' est le projeté orthogonal de A sur le plan ( BCD) et B' celui de B sur le plan ACD


1) On suppose ABCD un tétrèdre orthocentrique

Démontrer que CD est perpendiculaire au plan ABA' et déduires que CD et BA' sont orthonogonales.


Je pars du principe que nous avons deux hauteurs, par conséquent CC' par obligatoirement par l'orthocentrique et est perpendiculaire au plan ABD. de plus A'BA appatient à ABD donc cd est perpendiculaire à A'AB est ce juste ou pas ?

[yos]

Bonjour

J'ai une petite question, on me dit que ABCD est un tétraèdre régulier.

Démontrer que DA.BC+ DB.CA+DC.AB = 0

Ainsi DA.(BD+DC) + DB(CD+DA) + DC(AD+DB)

ce qui me donne DA(BD+DB) + DB(CD+DC) + DA(DC-CD)

soit DA(BB) + DB(CC) + DA(DD) = 0 car DD = BB = CC = 0

est ce correcte ?

L'hypothèse "régulier" est de trop.

[Bertrand Hamant]

est que penses tu du résulat est ce bon pour les deux question yos ?

[yos]

Ensuite ils me disent que ABCD est un tétraèdre. A' est le projeté orthogonal de A sur le plan ( BCD) et B' celui de B sur le plan ACD


1) On suppose ABCD un tétrèdre orthocentrique

Définition d'orthocentrique? Il y a deux possibilités au moins :
a)arètes opposées orthogonales.
b)existence d'un orthocentre.

???

[Bertrand Hamant]

arrete opposée


et pour le premier calcul c'est bon ?

[yos]

Le premier calcul est OK.
Pour le reste, si tu veux prouver qu'une droite est orthogonale à un plan, tu prouves qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Et si tu veux prouver qu'une droite D est orthogonale à une droite D', tu prouves que D est contenue dans un plan P orthogonal à D'.
C'est ce que tu as à faire dans la deuxième question.

[Bertrand Hamant]

Merci yos


donc le raisonnement était bon sur le fait que le plan ABA' appartient au plan ABD d'où le fait que CD soit orthogonale au plan A'BA ?

[yos]

Ben pas vraiment! D'abord c'est quoi un plan qui appartient à un plan?

Tu as et d'autre part , donc. CD est donc orthogonale aux deux sécantes AA' et AB du plan ABA', donc , donc

[Bertrand Hamant]

Bonjour

Tétraèdre orthocentrique : arretes opposées AB orth CD AC à BD AD à BC

ABCD est un tétraèdre. A' est le projeté orthogonal de A sur le plan ( BCD) et B' celui de B sur le plan ACD


1) On suppose ABCD un tétrèdre orthocentrique

Démontrer que CD est perpendiculaire au plan ABA' et déduires que CD et BA' sont orthonogonales.

J'ai dit que AB orthogonale CD

de plus AA' ortho BCD et BB' ortho à ADC donc AB parallèle à A'B'

Comme AB ortho CD et A'B' parallèle AB on a donc A'B' ortho à CD

d'où CD perpendiculaire au plan A'BA est ce que correcte ?

je ne vois pas comment montrer que CD et Ba' sont perpendiculaires

[Bertrand Hamant]

Pour démontrer que BC et DA' sont perpendiculaires, je dois montrer que le produit scalaire est nul, cependant je ne sais pas si un tétraèdre orthocentrique est régulier, c'est dire si tous côtés ont la meme longueur ?

ou je ne dois pas calculer le produit scalaire

[Bertrand Hamant]

Pour prouver que BC et DA' sont perpendiculaires


j'ai dois montrer que BC.DA' = 0, soit BC.(DA+AA') = BC.DA+BC.AA'


Or d'après les premières questions de l'énoncé nous avions montré que

DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 soit donc que DA.DB = 0 et d'autre part AA' est la hauteur orthogonale au plan BCD, donc AA' BC soit donc BC.DA' = 0


donc les droites sont bien parallèles