Prouver qu'une limite n'est pas rationnelle

[morgane1960]

Bonjour,
J'ai deux suites :
u(n)=somme pour k de 0 à n de 1/k! et v(n)=u(n)+1/(n*n!)
J'ai prouvé qu'elles étaient adjacentes, mais je dois maintenant démontrer que leur limite commune n'est pas un nombre rationnel. Je sais que je dois le faire par l'absurde en utilisant l=p/q avec p^q=1.
Est-ce que quelqu'un aurait une piste ?

[Manny06]

Bonjour,
J'ai deux suites :
u(n)=somme pour k de 0 à n de 1/k! et v(n)=u(n)+1/(n*n!)
J'ai prouvé qu'elles étaient adjacentes, mais je dois maintenant démontrer que leur limite commune n'est pas un nombre rationnel. Je sais que je dois le faire par l'absurde en utilisant l=p/q avec p^q=1.
Est-ce que quelqu'un aurait une piste ?

u(q)<=p<=v(q)
multiplie tout par q!
u(q)q! est un entier N v(q)q!=N+1/q
N<=(q-1)!p<=N+1/q
essaie de trouver une contradiction

[morgane1960]

u(q)<=p<=v(q)
multiplie tout par q!
u(q)q! est un entier N v(q)q!=N+1/q
N<=(q-1)!p<=N+1/q
essaie de trouver une contradiction

Je comprends comment on arrive là, mais je ne vois pas de contradiction :triste:

[Manny06]

Je comprends comment on arrive là, mais je ne vois pas de contradiction :triste:

(q-1)!p est un entier N est un entier et 1/np/q

[morgane1960]

(q-1)!p est un entier N est un entier et 1/np/q

Encore une fois, merci beaucoup !

[Lily2911]

Bonjour,
J'ai deux suites :
u(n)=somme pour k de 0 à n de 1/k! et v(n)=u(n)+1/(n*n!)
J'ai prouvé qu'elles étaient adjacentes, mais je dois maintenant démontrer que leur limite commune n'est pas un nombre rationnel. Je sais que je dois le faire par l'absurde en utilisant l=p/q avec p^q=1.
Est-ce que quelqu'un aurait une piste ?

u(q)<=p<=v(q)
multiplie tout par q!
u(q)q! est un entier N v(q)q!=N+1/q
N<=(q-1)!p<=N+1/q
essaie de trouver une contradiction

svp j'ai pas bien compris la procédure

[mathelot]

La constante d'Euler, notée e (e 2,71) , est irrationnelle.

Bonsoir,
les deux suites u et v étant adjacentes et strictement monotones, on peut écrire

entier,

Supposons que e soit rationnelle, il existe des entiers naturels p et q tels que:
p>0 et q>0
e=p/q (e est rationnelle)




On multiplie les inégalités par q!

(*)

or
est entier.

Les inégalités (*) montre l'entier p(q-1)! coincé entre deux entiers consécutifs.,
u(q)q! et u(q)q!+1.

contradiction.
Le nombre e n'est donc pas rationnel. C'est un irrationnel.

[Lily2911]

merci beaucoup mais pourquoi
U(q)q!est un entier

[mathelot]

merci beaucoup mais pourquoi
U(q)q!est un entier

parce que q! est un multiple de tous les entiers k! pour

prenons un exemple avec q=5

[Lily2911]

merci beaucoup mais pourquoi
U(q)q!est un entier

parce que q! est un multiple de tous les entiers k! pour

prenons un exemple avec q=5

Merci beaucouuup

[mathelot]

Déf: un nombre réel est transcendant s'il n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers.
on montre que la constante e est transcendante. De même que