Limite d'une fonction rationnelle

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 14:52

Bonjour à tous,

Voila, on me demande de déterminer les limites en + infini, - infini et 2 de la fonction rationnelle suivante : f(x) = (x^2 +1)/(2 - x)

Pour la limite en 2 je trouve au dénominateur 0 donc ça me semble impossible ou y a t-il une solution ? Pour les limites à l'infini dois-je prendre le terme au plus haut degres donc x^2 ? ou faire par exemple pour lim quand x->+infini de f(x) = +infini/-infini mais je me retrouve donc avec une forme indéterminée.

Je vous remercie d'avance, j'aimerai vraiment comprendre...

par **Arnaud-29-31** » 06 Sep 2010, 15:20

Bonjour,

Si tu prends x différent de 2, f(x) a bien une valeur que l'on peut déterminer, c'est pourquoi en x = 2, on parle de limite, f(2) n'existe pas mais on te demande comment se comporte f(x) lorsque x se rapproche de 2 ...

Pour les limites en l'infini, tu garde effectivement les termes de plus haut degré, soit x² en haut et -x en bas ...

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 15:40

Donc lim f(x) quand x tend vers 2 = 0 ?

Pour les limites en l'infini : lim f(x) quand x tend vers + infini = x^2/-X = +infini/ - infini ; c'est donc une forme indéterminée et c'est la que je bloque.

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 16:12

tom_360 a écrit:Donc lim f(x) quand x tend vers 2 = 0 ?

et non! tu oublies le numérateur qui vaut 5. Ce serait bien également de savoir si x tend vers 2 par valeurs inférieures (cad avec x2). Il faut considérer les deux cas ici.

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 16:19

D'une manière générale, que vaut la limite du quotient

lorsque la limite de f(x) est une constante réelle non nulle et lorsque la limite de g(x) est nulle ??

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 16:37

Lim f(x) quand x tend vers 2 avec x>2 = + infini et quand x<2 = - infini ? Je vous avoue que je suis un peu perdu ..

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 16:41

euh... c'est le contraire
si x<2, alors 2-x>0 et la limite vaut +inf.
si x>2, alors 2-x<0 et la limite vaut -inf.

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 16:49

Ah oui je vois donc si je résume :

lim (x^2 +1)/(2 - x) quand x tend vers 2 avec x<2 = +infini car 0<2-x <=> 2-x>0
et
lim (x^2 +1)/(2 - x) quand x tend vers 2 avec x>2 = -infini car 0>2-x <=> 2-x<0

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 17:08

Procédons par étapes :

étape 1

peu importe si x2 puisque en x=2, il n'y a pas de probème au numérateur, qui vaut 5, donc qui est bien défini.

étape 2
on remarque qu'au dénominateur, il y a un problème en x=2, car dans ce cas 2-x = 0, et on ne peut pas diviser par 0.

Si x>2 alors :

(car 2-x 0)

étape 3

si x>2.

si x<2.

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 17:14

Oui ce que tu as dit est juste ! je voulais juste être plus clair...

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 17:17

Avec cette rédaction la question pour la limite en 2 est finie ? N'y a-t-il pas une autre rédaction pour 0+ et 0- il me semble n'avoir jamais rencontré cette écriture même si je pense la comprendre.
Pour les limite en l'infini il me semble qu'il faut factoriser car on se retrouve avec une forme indéterminée meme en prenant les termes au plus grand degres

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 17:30

La justification pour la limite en x=2 est terminée.
Je te l'accorde, ces notations 0- et 0+ ne sont pas très rigoureuses.
Le plus important est de préciser si x2. On peut dès lors affirmer le résultat de la limite.

Pour les limites en

de fractions rationnelles (quotient de deux polynômes), il revient au même de considérer la limite des monômes de plus haut degré de chaque polynôme. Dans notre cas :

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 17:39

tu remarqueras que l'on peut simplifier le quotient

.
Ce quotient est aussi égal à

, n'est-ce pas ?

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 17:41

http://www.maths-forum.com/images/latex/18821c91dd1632b71c10d895ccd7ed31.gif = +infini/- infini

http://www.maths-forum.com/images/latex/49588362d8f844afe86226d1d37e0145.gif = + infini/+inifini

J'ai mon livre sous les yeux avec les tableaux des opérations de limites. Dans les deux cas la forme est indeterminée il est donc impossible de conclure de facon général. Mais il y a bien une solution ?

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 17:43

Oui, et cette solution se trouve dans mon post précédent ;)

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 17:43

Excusez moi je n'avais pas vu votre nouveau message. Oui x^2/-x = -x donc
en + infini la limite est - infini et pour - infini la limite est + infini ?

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 17:47

exactement !

par **tom_360** » 06 Sep 2010, 17:49

Ah merci beaucoup de votre patiente, ca m'a vraiment aidé

par **MacManus** » 06 Sep 2010, 18:01

Ma patiente sera à nouveau disponible si jamais tu as d'autres questions :happy3:

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