Prolèmes sur les suites.

[Arconada]

Bonjour à tous j'ai un DM de maths pour la rentré,hélas je ne comprends strictement rien pourriez vous m'aider car j'ai passé du temps pour faire cette exercice mais sans réussite.
Voici l'énoncé:

On supposes que,sur une période donnée,la population d'un pays est constante et égale à 60 millions,dont 40 millions sont en zone rurale et 20 millions en ville.On constate que les mouvements de population sont décrits par la règle suivante:chaque année,20% des ruraux émigrent en ville et 10 % des citadins émigrent en zone rurale.On note respectivement Vn et Rn les effectifs(en millions)des citadins et des ruraux au bout d n années(V0=20 et R0=40).
1)Montrer que,pour tout n(> ou égal)0,on a :
V(n+1)=0.9Vn+02Rn et Rn+1=0.1Vn+0.8Rn
2)QUe vaut Vn+Rn?En déduire que les suites (VN) et (Rn) satisfont à:
Vn+1=0.7Vn+12 et Rn+1=0.1Rn+6
3)Exprimer Vn et Rn en fonction de n;
Etudier la convergence des suites (Vn) et (Rn) et conclure sur l'évolution de la répartition de la population de ce pays.

Merci beaucoup de vôtre aides car je n'y arrive vraiment pas dutout.

[becirj]

Bonjour
1. Par rapport à l'année précédente la population de la ville augmente de 20% de ruraux mais diminue de 10% de citadins donc

Tu fais le même raisonnement pour

2. Le total de la population reste inchangé donc .
On a donc
Dans l'expression de en remplaçant par on obtient l'égalité demandée.
Même raisonnement pour la seconde expression mais il y a une erreur dans le texte, on obtient .

3. La troisième question est plus délicate. As-tu vu en classe des suites du type (avec eventuellement représentation graphique)?
Si oui il faut t'en inspirer. Si non je t'aiderai.

[Arconada]

Merci pour ton aides mais j'aimerais bien que tu m'aides pour le 3) car je n'est jamais vu se type de suite.Merci beaucoup d'avance.

[becirj]

Si tu calcules à la calculatrice suffisamment de termes de la suite ,tu vas constater qu'elle semble converger vers 40.
On introduit donc une nouvelle suite définie par et on va démontrer que est géométrique en exprimant en fonction de

est donc géométrique de raison 0,7 d'où
On en déduit que .
Essaie de faire la même chose avec

Pour la convergence : Une suite géométrique dont la raison appartient à a pour limite 0.