Projection

[khaoua2]

Bonsoir,

Determiner la projection du vecteur (1,4) sur la droite engendrée par le vecteur (2,2)

Calculer le cos de l'angle formé par les 2 vecteurs suivants(2,1) et (1,0)

la projection est un concept nouveau pour moI :hein:de facon generale il s'agit de quoi au juste.

et pour le cos, on doit utiliser les formules des nombres complexes pour trouver


merci

[Sdec25]

La projection d'un vecteur sur une droite est en fait la coordonnée du vecteur sur l'axe formé par cette droite.

Pour prendre un exemple courant, la projection d'un vecteur sur l'abscisse est la coordonnée x du vecteur.
On peut prendre n'importe quelle droite comme axe, et pour obtenir la projection il faut faire le produit scalaire du vecteur par le vecteur unitaire qui engendre la droite.

Pour calculer le produit scalaire :

[Sdec25]

En coordonnées cartésiennes, le produit scalaire (x, y) . (x', y') = x.x' + y.y'

Attention à calculer le produit scalaire du vecteur avec le vecteur unitaire (dont la norme est = à 1) engendrant la droite.
Ensuite on peut calculer les normes des vecteurs, ainsi que le cos.

[Dominique Lefebvre]

Remise à l'heure : le projeté d'un vecteur est encore un vecteur, de même nature physique.
Chaque coordonnée est le quotient de la projection sur un axe de la base, parallèlement aux plans formés par les autres vecteurs de base, par le vecteur de base qui lui est colinéaire.

Jusque là, je suis d'accord: il ne fait pas en effet confondre coordonnées d'un vecteur dans un référentiel donné (ou repère) et projection de ce même vecteur sur un axe du référentiel. Chaque axe de ce référentiel étant colinéaire au vecteur de la base constituante du référentiel (rappel : un référentiel, c'est un point origine et un ensemble de vecteurs unitaires constituants une base, le nombre de vecteurs de la base fixant la dimension du référentiel).

Comme ces deux vecteurs sont colinéaires, ce quotient est un simple nombre, à condition que le vecteur projeté et le vecteur de base soient tous deux de même nature physique - par exemple tous deux du genre longueur, ou tous deux du genre ddp, ou tous deux du genre impulsion. Mais si ces vecteurs colinéaires sont de nature différente, alors la coordonnée doit rattraper cette différence de nature, en portant une unité physique. Par exemple les coordonnées d'un vecteur impulsion (quantité de mouvement) sur un repère d'espace sont en kg/s.

Là je ne suis plus d'accord. Les vecteurs sont des objets mathématiques, dont on ne peut absolument pas parler de la nature physique! Un vecteur n'est pas de nature implusion ou vitesse ou quoique ce soit d'autre.
Un vecteur représente une grandeur physique de nature vectorielle. C'est la vitesse qui est une grandeur vectorielle (i.e. normée, orientée) et pas le vecteur V qui est de nature "vitesse".

C'est peut être une question de présentation, mais c'est essentiel à la rigueur du raisonnement, comme la distinction entre projection (qui est une opération vectorielle) et les coordonnées qui sont des variables scalaires.

[Sdec25]

ok, j'avais un doute sur ça, je pensais que la projection était un scalaire.

Donc la projection est égale à la coordonnée x le vecteur unitaire qui engendre la droite.

[Dominique Lefebvre]

ok, j'avais un doute sur ça, je pensais que la projection était un scalaire.

Donc la projection est égale à la coordonnée x le vecteur unitaire qui engendre la droite.

non pas tout à fait!
La projection est une opération vectorielle qui revient à multiplier un vecteur par un scalaire. Or tu sais que le produit d'un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.

Considérons une base bidimensionnelle, traditionnellement (O,u,v), avec u, vecteur unitaire porté par l'axe Ox et v vecteur unitaire porté par l'axe Oy.

Soit V un vecteur de coordonnées par rapport à l'origine (x,y). Très important de préciser l'origine. Dire ceci revient à dire que V = x*u + y*v, d'après la définition même d'un vecteur.

La projection du vecteur V sur l'axe Ox est égale au vecteur x*u.
La projection du vecteur V sur l'axe Oy est égale au vecteur y*v.
Il est évident que les coordonnées du vecteur x*u sont (x,0) si l'on considère que les coordonnées du vecteur de base u sont (1,0).
Même raisonnement pour la projection de V sur Oy.

Donc, dire que la projection de V sur Ox est x, c'est un raccourci de langage très rapide, qui est à éviter lorsqu'on débute dans ce genre de calcul. Il vaut mieux comprendre ce que l'on fait et ne pas prendre de détour. Evidemment, après 10 ou 20 ans de pratique, on fait des abus...

[Jacques Lavau]

Jusque là, je suis d'accord: il ne fait pas en effet confondre coordonnées d'un vecteur dans un référentiel donné (ou repère) et projection de ce même vecteur sur un axe du référentiel. Chaque axe de ce référentiel étant colinéaire au vecteur de la base constituante du référentiel (rappel : un référentiel, c'est un point origine et un ensemble de vecteurs unitaires constituants une base, le nombre de vecteurs de la base fixant la dimension du référentiel).



Là je ne suis plus d'accord. Les vecteurs sont des objets mathématiques, dont on ne peut absolument pas parler de la nature physique! Un vecteur n'est pas de nature implusion ou vitesse ou quoique ce soit d'autre.
Un vecteur représente une grandeur physique de nature vectorielle. C'est la vitesse qui est une grandeur vectorielle (i.e. normée, orientée) et pas le vecteur V qui est de nature "vitesse".

C'est peut être une question de présentation, mais c'est essentiel à la rigueur du raisonnement, comme la distinction entre projection (qui est une opération vectorielle) et les coordonnées qui sont des variables scalaires.

Les coordonnées sont des variables numériques quand c'est possible (c'est à dire quand le quotient d'un vecteur par le vecteur de base est sans dimension physique), mais scalaires jamais : elles sont toujours contravariantes dans un changement de base.

Ainsi l'affirmation "L'énergie est un scalaire, donc on peut la calculer dans n'importe quel repère", est le type même de l'affirmation complètement fausse. Et pourtant, il y a des agrégés de mécanique qui la font, cette bourde.

Quand tu affirmes "Les vecteurs sont des objets mathématiques, dont on ne peut absolument pas parler de la nature physique! ", c'est de l'impérialisme pur et simple, de l'ingratitude totale aussi, pour ne pas payer ses dettes de matheux envers les siècles voire millénaires de technologie qui vous ont tout préparé.

C'est bien parce que ce genre de fournisseurs arrogants ne font pas correctement leur travail, que j'ai dû mettre la main à la pâte, et faire un travail original, que bien d'autres auraient bien pu faire un siècle plus tôt, au moins sur le plan technique. Or personne ne l'avait fait. On subodore que le plus gros obstacle n'était pas technique, ni même culturel, mais moral.
Je ne disposais pas d'une technique supérieure, loin s'en faut, mais des cultures nécessaires, et de la moralité du service irréprochable envers nos clients. C'est cela qui a fait la différence.

[Jacques Lavau]

ok, j'avais un doute sur ça, je pensais que la projection était un scalaire.

Donc la projection est égale à la coordonnée x le vecteur unitaire qui engendre la droite.

Non, la projection reste le produit du vecteur de base par la coordonnée.
Inversement, la coordonnée reste le quotient de la projection par le vecteur de base.

[hasnaefachtab]

en plus simple c'est quoi une projection??

[kazeriahm]

on peut voir une projection comme une application aussi, cf algèbre linéaire.

Quand on projette un vecteur sur un axe, on associe à ce vecteur la composante sur cet axe, ce qui définit bien une application (fonction).

[Dominique Lefebvre]

Les coordonnées sont des variables numériques quand c'est possible (c'est à dire quand le quotient d'un vecteur par le vecteur de base est sans dimension physique), mais scalaires jamais : elles sont toujours contravariantes dans un changement de base.

Ainsi l'affirmation "L'énergie est un scalaire, donc on peut la calculer dans n'importe quel repère", est le type même de l'affirmation complètement fausse. Et pourtant, il y a des agrégés de mécanique qui la font, cette bourde.

Ah oui! Tu peux nous préciser dans quel cas l'énergie totale d'un système fermé ne serait pas un invariant par changement de repère? Je précise "énergie totale d'un système fermé", parce qu'en terme de calcul de l'énergie, on a vite fait de dire n'importe quoi...

Quand tu affirmes "Les vecteurs sont des objets mathématiques, dont on ne peut absolument pas parler de la nature physique! ", c'est de l'impérialisme pur et simple, de l'ingratitude totale aussi, pour ne pas payer ses dettes de matheux envers les siècles voire millénaires de technologie qui vous ont tout préparé.

Mon pauvre Jacques, tu es vraiment fâché avec les maths ! Je ne vois pas de trace d'ingratitude lorsque je dis qu'un vecteur est un objet mathématique. Je ne pense pas que ce soit un objet technologique ou physique :we:

C'est bien parce que ce genre de fournisseurs arrogants ne font pas correctement leur travail, que j'ai dû mettre la main à la pâte, et faire un travail original, que bien d'autres auraient bien pu faire un siècle plus tôt, au moins sur le plan technique. Or personne ne l'avait fait. On subodore que le plus gros obstacle n'était pas technique, ni même culturel, mais moral.
Je ne disposais pas d'une technique supérieure, loin s'en faut, mais des cultures nécessaires, et de la moralité du service irréprochable envers nos clients. C'est cela qui a fait la différence.

Alors là, je crois que tu frises le ridicule... Je ne sais pas à qui tu penses en écrivant" fournisseurs arrogants", j'aimerai donc que tu t'expliques.
Et de quoi parles-tu en écrivant "un travail original"? En math? Ta prose sur les "tourneurs"? Mais où est donc l'arrogance?

Bref, en arriver à des telles phrases alors qu'on te demande simplement de définir une projection, ce trouve cela... pathétique!

[Dominique Lefebvre]

on peut voir une projection comme une application aussi, cf algèbre linéaire.

Quand on projette un vecteur sur un axe, on associe à ce vecteur la composante sur cet axe, ce qui définit bien une application (fonction).

Bonjour,

Il faut distinguer la projection (que je suppose orthogonale) d'un vecteur de celle d'un point.

Je m'explique.

Soit un répère orthonormé de base i, j, d'origine O. Soit un vecteur OM avec M de ccordonnées (x,y).

La projection orthogonale de OM sur Ox produit le vecteur xi. La projection du point M sur Ox donne le point x.

Le calcul classique au lycée (et même plus tard) consiste à projeter des vecteurs comme le poids, la tension d'un fil, les frottements pour calculer un équilibre ou une vitesse de chute ou je ne sais quoi encore. Dans ce cas, on effectue d'abord une projection vectorielle, histoire d'avoir l'orientation de chaque force représentée sous forme vectorielle. puis on cherche la norme de chaque vecteur projeté sur Ox et Oy et l'on voit surgir des mg*cos(alpha) et mg*sin(alpha), dont semblait parler khaoua2 dans son premier post...

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,

Determiner la projection du vecteur (1,4) sur la droite engendrée par le vecteur (2,2)

Calculer le cos de l'angle formé par les 2 vecteurs suivants(2,1) et (1,0)

et pour le cos, on doit utiliser les formules des nombres complexes pour trouver

Bonjour khaoua2,

Revenons à ton problème initial.

D'abord, il n'est pas posé avec rigueur. J'imagine que les coordonnées de vecteurs que tu donnes sont toutes exprimées par rapport au même repère! ça va mieux en le disant (il faut prendre de bonnes habitudes pour plus tard...).
Ensuite, on suppose que ton exercice parle d'une projection orthogonale, c'est exact?

La première question peut se traiter en considérant que le vecteur à projeter est la somme de son projeté sur la droite et du vecteur qui relie les deux extremités non nulles du projeté et du vecteur à projeter (tu as toutes les données numériques pour faire ce calcul).

Pour la deuxième question et comme déjà indiqué, la méthode la plus simple est de calculer le cosinus de l'angle à l'aide du produit scalaire des deux vecteurs.
Ceci dit je ne vois pas pourquoi se compliquer la vie avec les nombres complexes. Bien sur, c'est faisable, mais pourquoi le faire ainsi? Ton exercice est-il un exo sur les vecteurs ou sur les complexes?

[aviateurpilot]

mais pourquoi le faire ainsi? Ton exercice est-il un exo sur les vecteurs ou sur les complexes?

par exemple parfois je trouve qu'une inégalité que etre resoulu en utilisant la geometrie.
et on peut utiliser les suites dans le denombrement
et les fonction dans la geometrie
alors pourquoi pas les complexe pour ce exo des vecteur

[Dominique Lefebvre]

par exemple parfois je trouve qu'une inégalité que etre resoulu en utilisant la geometrie.
et on peut utiliser les suites dans le denombrement
et les fonction dans la geometrie
alors pourquoi pas les complexe pour ce exo des vecteur

Tu as tout à fait raison. De façon générale, il faut exploiter tous les outils à notre disposition. Il y longtemps, en taupe, j'avais un prof de math qui nous démontrait la plupart des théorèmes de topologie en "exhibant" la suite qui allait bien et en démontrant sa convergence ou sa divergence...

Toutefois, au lycée, il arrive fréquement que dans les exercices de cours (comme celui de khaoua2), les profs attendent que l'on utilise les outils du cours. D'où ma question.
On peut aussi se souvenir de Guillaume d'Occam et mettre en oeuvre le principe de parcimonie : faire avec les outils les plus économiques en hypothèses... Faire cet exo avec des complexes signifie que tu travailles dans un plan de Gauss. As-tu vraiment besoin de cette hypothèse pour calculer le cos de l'angle formé par deux vecteurs ?