Produit vectoriel

[Karo_nice]

J'ai grandement besoin de votre aide !!

En utilisant le produit vectoriel
Est-ce que les 4 points suivants sont les sommets consecutifs d'un parallelogramme:A(1,-1,1) B(3,0,2) C(2,3,4) D(0,2,3) ?

Puis pourriez vous m 'eclaircir un peu plus sur ceci car faut ainsi trouver un vecteur orthogonal au plan contenant ce quadrilatere. Puis quelle interpretation geometrique peut-on donner a la norme du vecteur trouver??


Merci beaucoup !!

[emdro]

Je t'ai répondu très clairement à ce sujet, et tu as effacé la discussion.
C'est malhonnête.

C'est un problème de niveau quatrième.

[Karo_nice]

mais je n'est effacer aucune discussion

[Imod]

C'est un problème de niveau quatrième.

N'exagérons quand même pas , pour les coordonnées en dimension 3 , attendons la 2nde :zen:

Imod

[Huppasacee]

Bonsoir

As tu calculé les produits vectoriels de 2 côtés consécutifs( considérés comme des vecteurs) du quadrilatère nommé ?
Il faut faire attention aux sens
Les 4 produits vectoriels doivent être égaux pour que le quadrilatère soit un parallélogramme dans cet ordre ( si 2 vecteurs sont opposés à 2 autres , l'ordre est à revoir )

Le vecteur trouvé répondra à la question 2 si les 4 points sont coplanaires

La norme du produit vectoriel de 2 vecteurs mesure l'aire du triangle formé si on transporte les 2 vecteurs de manière à ce qu'ils aient la même origine, ce qui est le cas ici

[Quidam]

La norme du produit vectoriel de 2 vecteurs mesure l'aire du triangle formé si on transporte les 2 vecteurs de manière à ce qu'ils aient la même origine, ce qui est le cas ici

Non, pas exactement :
La norme du produit vectoriel de 2 vecteurs est égale au double de l'aire du triangle formé par deux représentants respectivement des deux vecteurs, ayant la même origine.

[Huppasacee]

Non, pas exactement :
La norme du produit vectoriel de 2 vecteurs est égale au double de l'aire du triangle formé par deux représentants respectivement des deux vecteurs, ayant la même origine.

Merci pour la correction

[Quidam]

Merci pour la correction

A ton service !

[Karo_nice]

ok pour ce qui est des 4 points afin de dire si cest un parallelogramme je les trouver jai faite ABXCD=0 donc le produit vectoriel donne un vecteur nul,alors AB et CD les 2 vecteurs sont parrallele donc les 4 points donne un parallelogramme RIght???

MAis la une chose que je comprend pas c'est ceci ............La norme du produit vectoriel de 2 vecteurs est égale au double de l'aire du triangle formé par deux représentants respectivement des deux vecteurs, ayant la même origine.

[nuage]

Salut,

ok pour ce qui est des 4 points afin de dire si cest un parallelogramme je les trouver jai faite ABXCD=0 donc le produit vectoriel donne un vecteur nul,alors AB et CD les 2 vecteurs sont parrallele donc les 4 points donne un parallelogramme RIght???

Non : de (AB) //(CD) tu ne peux pas conclure que (ABCD) est un parallélogramme. En supposant les points non alignés il faut aussi montrer que (AC)//(BD).

MAis la une chose que je comprend pas c'est ceci ............La norme du produit vectoriel de 2 vecteurs est égale au double de l'aire du triangle formé par deux représentants respectivement des deux vecteurs, ayant la même origine.

Par définition

Et il est facile démontrer que l'aire du triangle (ABC) est

[Karo_nice]

Ok mais comment je peux demontrer que cest un parrallelogramme alors avec cette formule Nuage que tu m as donner j ai un peu de la misere a voir comment je peut l appliquer afin de verifier si cest un parrallelogrammee avec les Points A(1,-1,1) B(3,0,2) C(2,3,4) D(0,2,3)

Merci

[Huppasacee]

Soit le quadrilatère ABCD
Faisons une figure et regardons chaque angle :

en B les côtés adjacents sont BA et BC Calculons BAxBC
en C nous calculons CBxCD
en D DCxDA
en A ADxAB

Les vecteurs seront toujours pris dans le même sens de rotation

Si les 4 produits donnent le même vecteur, alors nous avons affaire à un parallélogramme avec les sommets dans cet ordre

En fait, on peut s'arrêter à 3 des produits vectoriels. Si 3 des produits sont égaux, on peut monter que le quatrième l'est aussi car

ADxAB = BAxBC + DCxDA - CBxCD


Le vecteur trouvé est alors le vecteur normal au plan ABCD


Avec le produit vectoriel que tu as calculé, tu as montré que les 2 vecteurs sont colinéaires. Pour que ce soit un parallélogramme, il faut calculer les normes des 2 vecteurs, et pour l'ordre, calculer le produit scalaire pour savoir s'ils ont le même sens ou pas, mais cela ne te donnera pas le vecteur normal au plan ABCD

[Karo_nice]

ahh la vous m avez perdu !!!

Avec le produit vectoriel que tu as calculé, tu as montré que les 2 vecteurs sont colinéaires. Pour que ce soit un parallélogramme, il faut calculer les normes des 2 vecteurs, et pour l'ordre, calculer le produit scalaire pour savoir s'ils ont le même sens ou pas, mais cela ne te donnera pas le vecteur normal au plan ABCD

Pour que ce soit un parallélogramme, il faut calculer les normes des 2 vecteurs, et pour l'ordre, calculer le produit scalaire pour savoir s'ils ont le même sens ou pas, mais cela ne te donnera pas le vecteur normal au plan ABCD
Peut tu mexpliquer avec du visuelle genre demontrer ceci avec une formule les vecteurs stp :) Merci bcp!!

[Karo_nice]

En faite Huppasacee jai juste a demontrer ceci

ADxAB = BAxBC + DCxDA - CBxCD

si ADxAB donne vraiment ceci BAxBC + DCxDA - CBxCD alors cest la preuve que les 4 points donner est vraiment un paralelogramme??

[Huppasacee]

En calculant les coordonnées des côtés du quadrilatère, on voit bien que c'est un parallélogramme
Mais si on veut s'exercer sur le produit vectoriel, on trouve que BAxBC = (1;5;-5)
Idem pour CBxCD et pour les autres
c'est donc un parallélogramme avec les sommêts dans cet ordre


Et le vecteur (1;5;-5) est normal au plan ABCD
Sa norme est l'aire du parallélogramme

Pour l'égalité
ADxAB = BAxBC + DCxDA - CBxCD
elle est valable pour tout quadrilatère
C'était pour te dire que si tu avais déjà trouvé 3 produits vectoriels égaux , alors le troisième est identique, du fait de cette égalité

D'ailleurs, ce serait un bon exercice que de retrouver cette relation
La décomposition par la relation de Chasles et la distributivité du produit vectoriel suffisent pour cette démonstration


Pour en revenir à ABxDC = 0
cela indique seulement que AB et DC sont colinéaires

Si, de plus, en calculant les normes de AB et DC, on trouve qu'elles sont égales, alors on peut dire que AB et DC sont soit égaux, soit opposées
Pour lever le doute, calculons le produit scalaire AB.DC
S'il est positif, alors les 2 vecteurs ont le même sens

Mais ceci ne peut être ici qu'un exercice, car il suffit de connaître les coordonnées de AB et DC pour arriver à la conclusion voulue

Pour ce qui est de l'aire du parallélogramme, on sait que c'est base . hauteur

Si la base est BA, alors la hauteur vaur BC sin B
L'aire est doncBA.BC sin B, ce qui est aussi la norme du produit vectoriel des 2 vecteurs respectifs

J'espère que tu t'y retrouveras au milieu de ce dédale

Bon courage

[Karo_nice]

okk Merci enormement:)
Mais j'ai une autre petite question !

Le vecteur orthogonal au plan serait t'il (1,5,-7)??? et quel interpretation geometrique peut ton donner a la norme de ce vecteur??

Merci

[Huppasacee]

Pour ma part, j'ai trouvé comme produit vectoriel (1;5;-5) et non (1;5;-7)

Ainsi que cela a été dit par plusieurs intervenants, la norme de ce vecteur est le double de l'aire du triangle ABC ou BCD , ou CDA, ou DAB. L'aire de ces 4 triangles étant la même.

On peut résumer tout simplement en disant que c'est l'aire du parallélogramme