Produit scalaire la droite d'Euler dans un triangle

[dmdc]

salut j'aimerais avoir de l'aide pour un exercices :

1) A, B, C sont trois points distincts non alignés. Démontrez que le seul vecteur u tel que u.AB=0 et u.BC=0 est le vecteur nul.
2)OBC est un triangle isocèle en O. Démontrez que:
(OB+OC).BC=0 [1]

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ABC est un triangle, [FONT=Comic Sans MS]C[/FONT] sont cercle circonscrit de centre , H son orthocentre et G son centre de gravité.

1)a- en utilisant la relation [1] et HO+OA=HA, démontrez que: (HO+OA+OB+OC).BC=0

b- Démontrez que:
(HO+OA+OC).AB=0

c- En utilisant la question 1 déduisez en que:
OH=OA+OB+OC

2)a- En tenant compte de GA+GB+GC=0 démontrez que:
OA+OB+OC=3OG

b- Déduisez des question précedentes que O, H et G sont trois pointsalignés. Cette droite est appelée droit d'Euler du triangle ABC

PS: tous les couple de lettre son des vecteurs u aussi merci de bien vouloir m'aider a resoudre cet exercice

[armor92]

Bonjour,

1) Supposons u vecteur non nul,
= 0 veut dire que est orthogonal à AB
= 0 veut dire que est orthogonal à BC
A, B et C ne sont pas alignés donc AB n'est pas parallele à BC.
ne peut pas etre orthogonal à AB et à BC en même temps.
Donc est le vecteur nul.

2) = = = 0
(car |||| = ||||)

[armor92]

1) a-
=
=

HA est une hauteur du triangle donc = 0
OBC est un triangle isocèle donc comme démontré dans la première partie.

Donc = 0

b- Les trois points ABC jouent des roles symétriques, donc on peut démontrer que :
= 0

c- On peut poser =
= 0
= 0
Donc est le vecteur nul
=
D'ou finalement :

[armor92]

2) a-
On utilise la relation de schales
=
= 3

b-
Des questions précédentes, on déduit que :
= = 3

Comme = 3 , les trois points O, G et H sont alignés

[dmdc]

Ok merci beaucoup beaucoup beaucoup tu me sauve la vie