Exercice "La Droite d'Euler dans un triangle"

[rourou]

Bonjours, j'ai un DM de maths à rendre pour vendredi et je n'y arrive pas, Merci de m'aider.

A.
1) A, B, C sont distincts non alignés. Démontrez que le seul vecteur u tel que u.AB=0 et U.BC=0 est le vecteur nul.

2) OBC est un triangle isocèle en O. Démontrez que:
(OB+OC).BC=0 [Relation 1]

B. ABC est un triangle, M son cercle circonscrit de centre O, H son orthocentre et G son centre de gravité.

1) a) En utilisant la relation [1] et HO+OA=HA, démontrez que:
(HO+OA+OB+OC).BC=0

b) Démontrez de même que:
(HO+OA+OB+OC).AB=0

c) En utilisant A.1), déduisésant que:
OH=OA+OB+OC

2) a) En tenant compte de GA+GB+GC=0, démontrez que:
OA+OB+OC=3OG

b) Déduisez des questions précédentes que O, H et G sont trois points alignés. Cette droite est appelé droite d'Euler de triangle ABC.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Tu pourrais nous dire ce que tu as déjà fait ?

[rourou]

Oui bien sur ,
J'ai fait la première question, A. 1) :

A, B, C, ne sont pas alignés.
u.AB=0
u.BC=0
Donc:
u.AB=0 => u Perpendiculaire à AB ou u=0
u.BC=0 => u Perpendiculaire à BC ou u=0

Or les droites (AB) et (BC) sont sécantes puisque les points A, B, C ne sont pas alignés; le vecteur u ne peut pas être simultanément perpendiculaire à deux droites distinctes, donc il est nul.

Donc u est le vecteur nul.

J'ai également fait la question B.1) a) :
(HO+OA+OB+OC).BC=0
(HA+OB+OC).BC=0
(HA.BC)+(OB.BC)+(OC.BC)=0
on a HA.BC=0 donc:
(OB.BC)+(OC.BC)=0
BC.(OB+OC)=0 (D'après la relation 1)

[oscar]

Il y a des notions intéressantes sur " Recherche"

au début sous le titr " droite" d' Euler"

[Arnaud-29-31]

La question suivante c'est exactement pareil sauf que le triangle isocèle est OAB et on utilise HO + OC = HC ...