Produit scalaire 1èreS

[floxra]

Bonjour
J'ai un exercice à faire auquel je ne comprend absolument rien....
Je vous donne l'énonce, tout ce qui est en gras est un vecteur (je ne sais pas faire les fleches) !

ABCD est un carré, I est le milieu de [AB], J celui de [AD] et K celui de [AI]. Soit H le projeté orthogonal de A sur (DI). On se propose dans cet exercice de démontrer que JHK est un triangle rectangle en H.

1) En écrivant que :
HA² = HA.HA = (HI+IA).(HD+DA)
montrer que : HA² = -HD.HI

2) a. Expliquer pourquoi HJ = 1/2 (HA + HD)
b. Exprimer HK en fonction de HA et de HI.
c. Montrer que HK.HJ = 1/2 (HA² + HD.HI )

3) Conclure.

J'aimerais déjà au moins trouvé la solution de la première question.
Tout ce que j'ai trouvé pour cette question est :
HI.HD + HI.DA + IA.HD + IA.DA

Merci !

[titine]

Bonjour
J'ai un exercice à faire auquel je ne comprend absolument rien....
Je vous donne l'énonce, tout ce qui est en gras est un vecteur (je ne sais pas faire les fleches) !

ABCD est un carré, I est le milieu de [AB], J celui de [AD] et K celui de [AI]. Soit H le projeté orthogonal de A sur (DI). On se propose dans cet exercice de démontrer que JHK est un triangle rectangle en H.

1) En écrivant que :
HA² = HA.HA = (HI+IA).(HD+DA)
montrer que : HA² = -HD.HI

Tout ce que j'ai trouvé pour cette question est :
HI.HD + HI.DA + IA.HD + IA.DA

Rappel :
Si u et v sont orthogonaux alors u.v = 0
Si u et v sont colinéaires et de même sens alors u.v = llull*llvll
Si u et v sont colinéaires et de sens contraires alors u.v = -llull*llvll
En utilisant ces rappels tu peux simplifier HI.HD + HI.DA + IA.HD + IA.DA et démontrer ce qu'on te demande.

[capitaine nuggets]

Salut !

1) En écrivant que :
HA² = HA.HA = (HI+IA).(HD+DA)
montrer que : HA² = -HD.HI

.
Or d'après la relation de Chasles, en introduisant le point dans le vecteur , et pareil avec le point , . Ainsi :

[CENTER].[/CENTER]

Applique ensuite les opérations usuelle sur les sommes vectorielles et les produits scalaires :

[CENTER][/CENTER]

(Les opérations s'effectuent comme si on a avait des réels : :++:).

Maintenant regarde le résultat, il faut montrer . Or on vient de montrer que donc comme , il suffit de montrer qu'en fait :

[CENTER][/CENTER].

Maintenant, en justifiant que , prouve que :

[CENTER][/CENTER].

:+++:

[floxra]

Merci de cette super réponse capitaine nuggets !
Je justifie que IA.DA = 0 par le fait que IA et DA sont orthogornaux.
Par contre, je ne vois pas du tout comment tu arrives à l'équation HI.DA + IA.HD + IA.DA = -2HD.HI , je ne comprend pas ou passe le HA² ni d'où vient ce -2 ?

[capitaine nuggets]

Salut !



.
Or d'après la relation de Chasles, en introduisant le point dans le vecteur , et pareil avec le point , . Ainsi :

[CENTER].[/CENTER]

Applique ensuite les opérations usuelle sur les sommes vectorielles et les produits scalaires :

[CENTER][/CENTER]

(Les opérations s'effectuent comme si on a avait des réels : :++:).

Maintenant regarde le résultat, il faut montrer . Or on vient de montrer que donc comme , il suffit de montrer qu'en fait :

[CENTER][/CENTER].

Maintenant, en justifiant que , prouve que :

[CENTER][/CENTER].

:+++:

J'ai encadrer ce qui va servir : on a . Or on veut montrer que . Donc montrer que revient à montrer que , c'est-à-dire

:+++:

[floxra]

Oh ca y'est j'ai tout compris :o Après je remplace dans la grande équation développée HI.DA + IA.HD par -2HI.HD, et je fais HI.HD - 2HI.HD !
Merci énormément pour ton aide, et de m'avoir consacré du temps !

[capitaine nuggets]

Oh ca y'est j'ai tout compris Après je remplace dans la grande équation développée HI.DA + IA.HD par -2HI.HD, et je fais HI.HD - 2HI.HD !
Merci énormément pour ton aide, et de m'avoir consacré du temps !

Oui, c'est ça, mais il faut justifier que HI.DA + IA.HD = -2HI.HD , pour remplacer :++: