Problèmes division et congruence

[pierreo78]

Bonjour ,
je suis en terminale et on a le problème suivant à résoudre :

Trouver tous les entiers naturels n qui admettent exactement 16 diviseurs tel que
1=d1<d2<...<d16=n ( D1 signifie le 1er diviseur etc... ) avec d6 = 18 et d9 = d8 + 17

Sachant qu'on a jamais parler du nombre de diviseurs en cours j'ai fait quelques recherches
et j'ai trouvé que le nombre de diviseurs d'un nombre et la somme des exposants augmentés de 1 issus de la division du nombre en facteurs premiers .

Pour faire dans l'autre sens je me suis dit que 16 diviseurs sachant que 16 = 4² ou 4x2x2 ou 2^4 , ça pouvait etre n'importe quel nombre de la forme (A^(4^2-1) ou ou A^(2^4 - 1 )
Mais par exemple pour la premiere solutions ça sous entent que 1^15 a exactement 16 diviseurs or c'est faux .

Donc là je bloque beaucoup , on fait en ce moment la congruence en cours

Merci d'avance

( d'ailleurs vous trouvez que cet exercice est de niveau terminale sans avoir aborder le nombre de diviseurs en cours ? c'est de loin l'exo le plus dur que j'ai eu à faire en maths dans ma scolarité et pourtant je suis pas dans un lycée facile )

[pierreo78]

Personne ne voit une solution :( ?

[mathelot]

bonsoir,

le nombre cherché est

l'indication

fournit des indications sur les six premiers diviseurs.

On montre que la valuation de 3 ne peut être 2, car 6 ne divise pas 16.

elle est de 3

fournit le dernier facteur premier.

Sa valuation est de 1 car il ne reste plus de place dans 16 pour y placer un autre facteur que 2.

[mathelot]

Bonjour ,
je suis en terminale et on a le problème suivant à résoudre :

Trouver tous les entiers naturels n qui admettent exactement 16 diviseurs tel que
1=d1<d2<...<d16=n ( D1 signifie le 1er diviseur etc... ) avec d6 = 18 et d9 = d8 + 17

Sachant qu'on a jamais parler du nombre de diviseurs en cours j'ai fait quelques recherches
et j'ai trouvé que le nombre de diviseurs d'un nombre et la somme est le produit des exposants augmentés de 1 issus de la division du nombre en facteurs premiers .

Pour faire dans l'autre sens je me suis dit que 16 diviseurs sachant que 16 = 4² ou 4x2x2 ou 2^4 , ça pouvait etre n'importe quel nombre de la forme (A^(4^2-1) ou ou A^(2^4 - 1 )
Mais par exemple pour la premiere solutions ça sous entent que 1^15 a exactement 16 diviseurs or c'est faux .

Donc là je bloque beaucoup , on fait en ce moment la congruence en cours

Merci d'avance

( d'ailleurs vous trouvez que cet exercice est de niveau terminale sans avoir aborder le nombre de diviseurs en cours ? c'est de loin l'exo le plus dur que j'ai eu à faire en maths dans ma scolarité et pourtant je suis pas dans un lycée facile )

nbr diviseurs =

les peuvent valoir 1,3,7 ou 16.

7 et 16 ça fait trop.

[pierreo78]

je comprend pas très bien la formule , pourriez vous l'appliquer à un entier

[mathelot]

euh, désolé.


soit n factorisé en produits de facteurs premiers


un diviseur de n va s'écrire sous la même forme mais avec des valuations plus petites
(théorème de Gauss)



Pour décrire tous les diviseurs de n, on fait varier les valuations
de 0 à indépendemment les unes des autres.

Les possibilités se multiplient d'où la formule

nbr de diviseurs de =

les diviseurs de n s'organisent comme un treillis réticulé (je crois que ça s'appelle comme ça),ie,
un graphe d'un type particulier.

La donnée de donne des infos sur les six premiers diviseurs de n et pas uniquement sur lui même.

[chan79]

salut
un début de réflexion
Comme 18 est un diviseur de n, la décomposition en facteurs premiers de n, est de la forme (avec un facteur de plus, on dépasserait 16 diviseurs)
avec a>=1 , b>=2 et q premier
Pour que le nombre de diviseurs soit 16, on voit que


il reste à trouver les valeurs de q
avec q=37 ça marche (n=1998)

Les diviseurs sont: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 et q, 2q, 3q, 6q, 9q, 18q, 27q, 54 q car 18 est le sixième

ceux qui sont en rouge sont les 6 plus petits diviseurs

[mathelot]

re,

est ce que n=1998 vérifie

d9 = d8 + 17 ?

[chan79]

re,

est ce que n=1998 vérifie

d9 = d8 + 17 ?

les diviseurs de 1998 sont: 1,2,3,6,9,18,27,37,54,74,111,222,333,666,999,1998

54=37+17

il reste à montrer que 1998 est le seul (ou pas)
En fait, je pense qu'il y a juste à tester les valeurs de q plus grandes que 18 soit
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 71(car d9=d8+17)
l'autre solution est 3834

[mathelot]

d'où vient ce 37 ?

[chan79]

j'avais mal compté, au temps pour moi.

Donc, mais c'est à vérifier, il y a deux solutions: 1998 et 3834

[mathelot]

up: d'où vient ce 37 ?

la valuation de 3 est nécessairement 3, afin que vp(3)+1 | 16.

27|n

le facteur premier suivant est nécessairement 54+17=71

[chan79]

up: d'où vient ce 37 ?

la valuation de 3 est nécessairement 3, afin que vp(3)+1 | 16.

27|n

le facteur premier suivant est nécessairement 54+17=71

54 n'est pas forcément le 8ième diviseur. Il faut tester q de 19 à 71 pour ne pas laisser échapper la solution 1998

[chan79]

on est sûr que 1es 6 premiers diviseurs sont 1,2,3,6,9 et 18 car on nous dit que 18 est le sixième diviseur

[mathelot]

on est sûr que 1es 6 premiers diviseurs sont 1,2,3,6,9 et 18 car on nous dit que 18 est le sixième diviseur

oui, j'ai compris mon erreur, je n'imaginais pas que 54-17 soit un entier premier

[chan79]

à ce stade de la reflexion, , apparait nécessairement 27=3^3

(à cause des 16 diviseurs)

oui, mais on n'est pas sûr qu'il n'y a pas de diviseur entre 18 et 27 ( et entre 27 et 54)

[mathelot]

au dernier stade, quand on est rendu à un produit de valuations égal ,

il ne reste plus qu'un seul facteur premier à insérer dans la liste et donc s'assurer

que la clause d9=d8+17 n'en produit pas deux.

[chan79]

On est sûr que les six premiers diviseurs sont 1,2,3,6,9,18 il y a aussi 27 et 54
on teste les valeurs de q
Avec q=19
1,2,3,6,9,18,19,27,38,54 ... d9=d8+11
Avec q=21:
1,2,3,6,9,18,21,27,42,54 ... d9=d8+15
Avec q=23:
1,2,3,6,9,18,23,27,46,54 ... d9=d8+19
Avec q=29:
1,2,3,6,9,18,27,29,54,58 ... d9=d8+5
Avec q=31:
1,2,3,6,9,18,27,31,54, 62 ... d9=d8+23
Avec q=37:
1,2,3,6,9,18,27,37,54,74... d9=d8+17 BINGO ! n=37*54=1998
Avec q=41:
1,2,3,6,9,18,27,41,54, 82 ... d9=d8+13
Avec q=43:
1,2,3,6,9,18,27,43,54, 86 ... d9=d8+11
Avec q=47:
1,2,3,6,9,18,27,47,54, 94 ... d9=d8+7
Avec q=53:
1,2,3,6,9,18,27,53,54, 106 ... d9=d8+1
dernière possibilité:
q=54+17=71
n=54*71=3834

[chan79]

( d'ailleurs vous trouvez que cet exercice est de niveau terminale sans avoir aborder le nombre de diviseurs en cours ? c'est de loin l'exo le plus dur que j'ai eu à faire en maths dans ma scolarité et pourtant je suis pas dans un lycée facile )

on utilise la décomposition des nombres en facteurs premiers

Sinon, un lien utile

[pierreo78]

Avec un algorithme ( qui calcule le nombre de diviseurs puis le 6ème puis la diff entre D9 et d8 ) j'ai trouvé 1998 et 3834 ( comme tout le monde visiblement ) ,

par contre je comprend pas vos raisonnements , or pour prouver qu'il y a que ces deux là je dois passer par le raisonnement , est-ce quelqu'un aurait pourrait me rééxpliquer le raisonnement depuis le début ,

on a jamais vu de théorème de Gauss donc je ne pense pas que le prof s'attendait à ce qu'on passe par ceci