Congruence et division euclidienne

[maxl135]

J'ai commencé mon DM de math mais je bloque à une question.

2) En discutant suivant les valeurs de k appartenant N, déterminer les restes des divisions par 7 des nombres 2^k.

En essayant avec k=1 etc... j'ai trouvé que les restes sont 1, 2 et 4.
Mais je ne vois pas comment le démontrer.


Sinon j'ai une autre question qui pourra m'aider dans un autre exercice.
On a : P = a + b + c
Si on me demande le reste de la division euclidienne de P par 7. Et si je connais les restes de la division euclidienne de a, b et c par 7; puis-je faire la somme de ces restes pour trouver le reste de la division euclidienne de P par 7 ?

Merci de votre aide car il n'y a qu'à cette question que je bloque.

[Taupin sur Lyon]

Euh... problème dans la formulation... C'est 2^k je suppose, non ?

[maxl135]

Exactement.

[Taupin sur Lyon]

D'une... oui, les congruences s'ajoutent ! ;)

Tu as du, en calculant les premiers restes qu'il y avait un cycle qui revenait... Donc voila :) Tu en tires assez facilement les différentes valeurs du reste pour les valeurs de k ;)

[maxl135]

Oui, d'accord.
Mais il faut bien que je rédige ou que je le démontre ?
Je suis pas certain d'avoir le droit de faire ma méthode qui consiste à prendre différentes valeurs de k et de voir à quoi est égal le reste.

[Taupin sur Lyon]

J'ai souvenir d'un exercice comme ça...

Donc tu remarques en gros que :

k=0[3] => 2^k=1[7]
k=1[3] => 2^k=2[7]
k=2[3] => 2^k=4[7]

En effet, pour passer d'une à l'autre, tu mutliplies 2^k par 2, donc tu mutliplies les congruences par 2... D'où le cycle !
Personnellement, je pense pas qu'il y ait besoin de "démonstration", cette justification suffit à mon avis !

[maxl135]

Ok merci bien !
Je vais faire ce que tu m'as conseillé. J'espère que sa suffira a la prof.

[Taupin sur Lyon]

De rien ;)
Tiens-moi au courant de ce que dira ta prof ;) Merci !